Em sua jornada para a Lua os astronautas da Apolo alcançaram um ponto no qual a atração gravitacional da Lua tornou-se mais forte que a da Terra. (a) Determine a distância deste ponto até o centro da Terra. (b) Qual é a aceleração devida à gravidade da Terra neste ponto?

Passo 1

Vamos entender qual é o problema e o que precisamos para resolvê-lo. Estamos falando de astronautas indo para a Lua e chegando em um ponto onde a força gravitacional da Lua é igual à da Terra. Precisamos descobrir duas coisas:
a) A distância desse ponto até o centro da Terra.
b) A aceleração da gravidade da Terra nesse ponto.
Para resolver isso, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos ajuda a calcular a força de atração entre dois corpos com massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da força gravitacional:
F = G times M times mr^2
Onde:
  • F é a força gravitacional,
  • G é a constante gravitacional ( 6,674 times 10^-11 , N cdot m^2/kg^2 ),
  • M é a massa de um dos corpos (Terra ou Lua),
  • m é a massa do outro corpo,
  • r é a distância entre os centros dos dois corpos.

Passo 3

No ponto onde as forças gravitacionais da Terra e da Lua são iguais, podemos igualar as duas forças:
FTerra = FLua
Então:
G times MTerrar^2 = G times MLua(D - r)^2
Onde:
  • D é a distância total entre a Terra e a Lua,
  • r é a distância do ponto até o centro da Terra.

Passo 4

Podemos simplificar a equação cancelando a constante G dos dois lados:
MTerrar^2 = MLua(D - r)^2

Passo 5

Agora, vamos resolver para r . Primeiro, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
raizMTerraMLua = rD - r
Isolando r :
r = D times raizMTerraMLua1 + raizMTerraMLua

Passo 6

Vamos usar os valores conhecidos:
  • Massa da Terra ( MTerra ): 5,972 times 10^24 kg
  • Massa da Lua ( MLua ): 7,348 times 10^22 kg
  • Distância Terra-Lua ( D ): 384.400 km = 384.400 times 10^3 m
Calculando a raiz:
raiz5,972 times 10^247,348 times 10^22 approx 9,02
Agora, substituindo na fórmula de r :
r = 384.400 times 10^3 , m times 9,021 + 9,02
r approx 384.400 times 10^3 , m times 9,0210,02
r approx 346.000 , km

Passo 7

Para encontrar a aceleração da gravidade da Terra nesse ponto, usamos a fórmula:
g = G times MTerrar^2
Substituindo os valores:
g = 6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^24(3,46 times 10^8)^2
g approx 0,00334 , m/s^2

Resposta

A distância do ponto até o centro da Terra é aproximadamente 346.000 km, e a aceleração devida à gravidade da Terra nesse ponto é de cerca de 0,00334 m/s².

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