Em sua jornada para a Lua os astronautas da Apolo alcançaram um ponto no qual a atração gravitacional da Lua tornou-se mais forte que a da Terra. (a) Determine a distância deste ponto até o centro da Terra. (b) Qual é a aceleração devida à gravidade da Terra neste ponto?
Passo 1
Vamos entender qual é o problema e o que precisamos para resolvê-lo. Estamos falando de astronautas indo para a Lua e chegando em um ponto onde a força gravitacional da Lua é igual à da Terra. Precisamos descobrir duas coisas:
a) A distância desse ponto até o centro da Terra.
b) A aceleração da gravidade da Terra nesse ponto.
a) A distância desse ponto até o centro da Terra.
b) A aceleração da gravidade da Terra nesse ponto.
Para resolver isso, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos ajuda a calcular a força de atração entre dois corpos com massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da força gravitacional:
Onde:
-
é a força gravitacional, -
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa de um dos corpos (Terra ou Lua), -
é a massa do outro corpo, -
é a distância entre os centros dos dois corpos.
Passo 3
No ponto onde as forças gravitacionais da Terra e da Lua são iguais, podemos igualar as duas forças:
Então:
Onde:
-
é a distância total entre a Terra e a Lua, -
é a distância do ponto até o centro da Terra.
Passo 4
Podemos simplificar a equação cancelando a constante
dos dois lados:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Isolando
:
Passo 6
Vamos usar os valores conhecidos:
- Massa da Terra (
): kg - Massa da Lua (
): kg - Distância Terra-Lua (
): 384.400 km = m
Calculando a raiz:
Agora, substituindo na fórmula de
:
Passo 7
Para encontrar a aceleração da gravidade da Terra nesse ponto, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
A distância do ponto até o centro da Terra é aproximadamente 346.000 km, e a aceleração devida à gravidade da Terra nesse ponto é de cerca de 0,00334 m/s².