1. Qual dos números a seguir NÃO é soma de dois quadrados perfeitos?
    A) 144
    B) 145
    C) 146
    D) 147

Passo 1

O enunciado pergunta qual dos números
A) 144, B) 145, C) 146, D) 147
não pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos. Vamos usar o critério de soma de dois quadrados para resolver.

Passo 2

O teorema fundamental é: um inteiro positivo n é soma de dois quadrados se e somente se, na sua fatoração em primos
n = \prod_{i} p_i^{e_i},
todo primo p_i\equiv3\pmod4 aparece com expoente e_i par.

Passo 3

Para verificar as primeiras três opções, podemos até dar exemplos de representação:
144 = 12^2 + 0^2, logo é soma de quadrados.
145 = 12^2 + 1^2, logo é soma de quadrados.
146 = 11^2 + 5^2, logo é soma de quadrados.

Passo 4

Agora 147. Fatorando,
147 = 3 \cdot 7^2.
Aqui o primo 3 satisfaz 3\equiv3\pmod4 e aparece com expoente 1 (ímpar), violando o teorema. Portanto não dá para escrever 147 como soma de dois quadrados perfeitos.

Resposta

D) 147

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