(UE-GO) Uma pequena empresa foi aberta em sociedade por duas pessoas. O capital inicial aplicado por elas foi de 30 mil reais. Os sócios combinaram que os lucros ou prejuízos que eventualmente viessem a ocorrer seriam divididos em partes proporcionais aos capitais por eles empregados. No momento da apuração dos resultados, verificaram que a empresa apresentou lucro de 5 mil reais. A partir dessa constatação, um dos sócios retirou 14 mil reais, que correspondia à parte do lucro devida a ele e ainda o total do capital por ele empregado na abertura da empresa. Determine o capital que cada sócio empregou na abertura da empresa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
-
Informações fornecidas:
- Capital total aplicado pelos dois sócios:
reais. - Lucro apurado:
reais. - Um dos sócios retirou
reais, e isso corresponde à soma do capital que ele havia investido na abertura e da parte do lucro que lhe cabia.
- Capital total aplicado pelos dois sócios:
-
O que o problema pede:
- Determinar o capital que cada sócio empregou na abertura da empresa (ou seja, os valores iniciais investidos por cada um).
Passo 2
Vamos traduzir a regra de divisão do lucro em fórmula (isso é importante para resolver sem erro).
- Regra de divisão: os lucros são divididos em partes proporcionais aos capitais empregados.
Isso significa que, se um sócio tem capitale o outro , com total , a parte do lucro que cabe ao sócio 1 é Aqui cada símbolo significa: -
: capital do sócio 1 (valor que queremos relacionar), -
: capital do sócio 2, -
: o lucro total da empresa (aqui reais), -
: a parcela do lucro que cabe ao sócio 1.
-
Explicando com palavras simples: cada sócio recebe uma fração do lucro igual à fração do capital que ele colocou sobre o capital total.
Passo 3
Definição de variáveis e equações iniciais (tradução direta do enunciado para álgebra).
- Chamar de
o capital do sócio que efetuou a retirada de reais. - Chamar de
o capital do outro sócio.
As relações conhecidas:
A parte do lucro que cabe ao sócio com capital
é, pela regra do passo anterior,
Pelo enunciado, o sócio retirou exatamente a soma do seu capital inicial mais a sua parte do lucro, ou seja:
Passo 4
Substituir
na expressão e montar a equação para
.
- Colocando
na fórmula da parte do lucro:
- Então a condição de retirada fica
Passo 5
Simplificar a equação e resolver para
passo a passo.
- Primeiro simplificar o coeficiente:
- Substituindo:
- Somando os termos com
:
- Isolando
:
- Calcular numericamente:
e . Logo
Passo 6
Determinar o capital do outro sócio
e fazer uma checagem rápida.
- Usando
:
- Checagem (ver se a conta bate): parte do lucro de
deve ser
Soma do capital mais lucro do sócio que retirou:
que é exatamente o valor indicado no enunciado. Tudo consistente.
Resposta
O sócio que retirou
havia investido
reais.
O outro sócio havia investido reais.
O outro sócio havia investido