(UE-GO) Uma pequena empresa foi aberta em sociedade por duas pessoas. O capital inicial aplicado por elas foi de 30 mil reais. Os sócios combinaram que os lucros ou prejuízos que eventualmente viessem a ocorrer seriam divididos em partes proporcionais aos capitais por eles empregados. No momento da apuração dos resultados, verificaram que a empresa apresentou lucro de 5 mil reais. A partir dessa constatação, um dos sócios retirou 14 mil reais, que correspondia à parte do lucro devida a ele e ainda o total do capital por ele empregado na abertura da empresa. Determine o capital que cada sócio empregou na abertura da empresa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
  • Informações fornecidas:
    • Capital total aplicado pelos dois sócios: \,30{,}000 reais.
    • Lucro apurado: \,5{,}000 reais.
    • Um dos sócios retirou \,14{,}000 reais, e isso corresponde à soma do capital que ele havia investido na abertura e da parte do lucro que lhe cabia.
  • O que o problema pede:
    • Determinar o capital que cada sócio empregou na abertura da empresa (ou seja, os valores iniciais investidos por cada um).

Passo 2

Vamos traduzir a regra de divisão do lucro em fórmula (isso é importante para resolver sem erro).
  • Regra de divisão: os lucros são divididos em partes proporcionais aos capitais empregados.
    Isso significa que, se um sócio tem capital C_1 e o outro C_2, com total C_1+C_2, a parte do lucro que cabe ao sócio 1 é \text{lucro}_1 = \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot (\text{lucro total}).Aqui cada símbolo significa:
    • C_1: capital do sócio 1 (valor que queremos relacionar),
    • C_2: capital do sócio 2,
    • \text{lucro total}: o lucro total da empresa (aqui \,5{,}000 reais),
    • \text{lucro}_1: a parcela do lucro que cabe ao sócio 1.
Explicando com palavras simples: cada sócio recebe uma fração do lucro igual à fração do capital que ele colocou sobre o capital total.

Passo 3

Definição de variáveis e equações iniciais (tradução direta do enunciado para álgebra).
  • Chamar de x o capital do sócio que efetuou a retirada de \,14{,}000 reais.
  • Chamar de y o capital do outro sócio.
As relações conhecidas:
x+y = 30{,}000
A parte do lucro que cabe ao sócio com capital x é, pela regra do passo anterior,
\text{lucro}_x = \frac{x}{x+y}\cdot 5{,}000.
Pelo enunciado, o sócio retirou exatamente a soma do seu capital inicial mais a sua parte do lucro, ou seja:
x + \text{lucro}_x = 14{,}000.

Passo 4

Substituir x+y=30{,}000 na expressão e montar a equação para x.
  • Colocando x+y=30{,}000 na fórmula da parte do lucro:
\text{lucro}_x = \frac{x}{30{,}000}\cdot 5{,}000.
  • Então a condição de retirada fica
x + \frac{x}{30{,}000}\cdot 5{,}000 = 14{,}000.

Passo 5

Simplificar a equação e resolver para x passo a passo.
  • Primeiro simplificar o coeficiente:
\frac{5{,}000}{30{,}000} = \frac{1}{6}.
  • Substituindo:
x + \frac{x}{6} = 14{,}000.
  • Somando os termos com x:
\frac{7}{6}x = 14{,}000.
  • Isolando x:
x = 14{,}000\cdot\frac{6}{7}.
  • Calcular numericamente: 14{,}000\div 7 = 2{,}000 e 2{,}000\cdot 6 = 12{,}000. Logo
x = 12{,}000.

Passo 6

Determinar o capital do outro sócio y e fazer uma checagem rápida.
  • Usando x+y=30{,}000:
y = 30{,}000 - 12{,}000 = 18{,}000.
  • Checagem (ver se a conta bate): parte do lucro de x deve ser
\frac{12{,}000}{30{,}000}\cdot 5{,}000 = 0{,}4\cdot 5{,}000 = 2{,}000.
Soma do capital mais lucro do sócio que retirou:
12{,}000 + 2{,}000 = 14{,}000,
que é exatamente o valor indicado no enunciado. Tudo consistente.

Resposta

O sócio que retirou \,14{,}000 havia investido \,12{,}000 reais.
O outro sócio havia investido \,18{,}000 reais.

Exercícios relacionados