Julgue as afirmações em verdadeiras ou falsas justificando sua escolha
(\quad) \cos (3)>\cos (2)

Passo 1

O enunciado pede para julgar se a afirmação \cos(3)>\cos(2) é verdadeira ou falsa, justificando a escolha. As informações relevantes dadas são apenas os números 2 e 3 como argumentos da função cosseno. Assume-se a medida em radianos (padrão em problemas matemáticos).

Passo 2

Vamos lembrar um fato importante sobre a função \cos que nos permite comparar valores sem calcular números complicados: a derivada de \cos é
\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Explicando devagar: a derivada de uma função informa se a função está crescendo ou decrescendo. Se f'(x)<0 num intervalo, então f é decrescente ali; se f'(x)>0, f é crescente ali. No nosso caso, \cos'(x)=-\sin(x). Portanto, onde \sin(x)>0 vale \cos'(x)<0, isto é, \cos é decrescente nesses pontos.
Sabe-se que \sin(x)>0 para todo x em
(0,\pi).
Como \pi\approx 3{,}14159, temos
0<2<3<\pi,
ou seja, tanto 2 quanto 3 pertencem ao intervalo (0,\pi). Logo, em todo o intervalo (0,\pi) a função \cos é decrescente.

Passo 3

Se \cos é decrescente em (0,\pi) e 2<3, então os valores obedecem
\cos(2)>\cos(3).
Isto mostra, por argumento de monotonicidade, que a desigualdade dada \cos(3)>\cos(2) não pode ser verdadeira (pois o sentido é o contrário).
Para confirmar numericamente (cheque rápido, não necessário na prova se souber usar monotonicidade):
\cos(2)\approx -0{,}4161468,\qquad \cos(3)\approx -0{,}9899925,
e realmente -0{,}4161468 > -0{,}9899925, ou seja, \cos(2)>\cos(3).

Resposta

Falso

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