Julgue as afirmativas:
(1) \{(1,2,3),(4,5,12),(0,8,0)\} é base de I R^{3};
(2) Se u, v e w são vetores linearmente independentes, então v+w, u+w \mathrm{e} u+v são também linearmente independentes;
(3) Se S é um subconjunto de I R^{3} formado por vetores linearmente dependentes, então podemos afirmar que S tem 4 elementos ou mais;
(4) Se o posto da matriz \\\left[\begin{array}{ccc}1 & x & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0\end{array}\\\right] é 3 , então x \neq 1.
o) S=\left\{(x, y, x+y) \in I R^{3} / x, y \in I R\right\} é um subespaço vetorial de I R^{3} e a dimensão de S é 2 ;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos, sem resolver nada ainda.
Precisamos julgar as afirmativas (1) a (4):
(1) \{(1,2,3),(4,5,12),(0,8,0)\} é base de \mathbb{R}^{3}.
(2) Se u,v,w são vetores linearmente independentes, então v+w,\;u+w e u+v também são linearmente independentes.
(3) Se S é um subconjunto de \mathbb{R}^{3} formado por vetores linearmente dependentes, então podemos afirmar que S tem 4 elementos ou mais.
(4) Se o posto da matriz \left[\begin{array}{ccc}1 & x & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] -1 & 1 & 0\end{array}\right] é 3, então x \neq 1.
E a última afirmação (marcada como o)): S=\{(x,y,x+y)\in\mathbb{R}^3 \mid x,y\in\mathbb{R}\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3 e a dimensão de S é 2.
Esses são os enunciados que vou analisar um por um.]
Passo 2
Definições e ideias que vou usar (aulas rápidas e intuitivas):
Uma lista de três vetores em \mathbb{R}^3 é base se e só se for linearmente independente (LI) e gerar \mathbb{R}^3. Para testar LI de três vetores em \mathbb{R}^3 convém calcular o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores: determinante não nulo ⇔ vetores LI ⇔ formam base.
Vetores u,v,w são LI se a única combinação linear a u + b v + c w = 0 for a=b=c=0.
Um conjunto de vetores em \mathbb{R}^3 é linearmente dependente (LD) se existe uma combinação linear não trivial que dá zero; conjuntos com 2 vetores podem ser LD (se um for múltiplo do outro). Não é verdade que LD implique ter pelo menos 4 elementos.
O posto (rank) de uma matriz quadrada 3\times3 ser 3 é equivalente a determinante diferente de zero. Então calculo o determinante para relacionar com x.
Um subconjunto S de \mathbb{R}^3 é subespaço se contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação por escalar. A dimensão de S é o número máximo de vetores LI que geram S.
Passo 3
Análise da afirmativa (1): testar se \{(1,2,3),(4,5,12),(0,8,0)\} é base de \mathbb{R}^3.
Resolvendo: a partir de \alpha+\beta=0 obtemos \beta=-\alpha. De \alpha+\gamma=0 obtemos \gamma=-\alpha. Então \beta+\gamma=-\alpha-\alpha=-2\alpha=0, portanto \alpha=0. Logo \beta=\gamma=0. A única solução é a trivial, o que mostra que v+w,\;u+w,\;u+v são LI.
Portanto (2) é verdadeira.
Observação didática curta: essa manipulação é um método padrão: escrever combinação linear, agrupar em uma base conhecida e usar a independência dessa base para obter um sistema linear nos coeficientes.
Passo 5
Análise da afirmativa (3): “Se S é subconjunto de \mathbb{R}^3 formado por vetores linearmente dependentes, então podemos afirmar que S tem 4 elementos ou mais.”
Explicação e contraexemplo simples: um conjunto com apenas dois vetores pode ser linearmente dependente se um for múltiplo do outro; por exemplo, S=\{(1,0,0),(2,0,0)\} está contido em \mathbb{R}^3 e é linearmente dependente (porque (2,0,0)-2(1,0,0)=0), e tem apenas 2 elementos. Assim não se pode afirmar que um conjunto LD em \mathbb{R}^3 precisa ter 4 ou mais elementos. Logo (3) é falsa.
Comentário conceitual: em \mathbb{R}^3, qualquer conjunto com mais de 3 vetores é necessariamente LD (por dimensão), mas conjuntos LD podem ter qualquer tamanho \ge 2 (ou até 1 se incluir o vetor zero). Então a afirmação é incorreta.
Portanto \det(M)\neq 0 se e somente se -1-x\neq 0, isto é x\neq -1.
A afirmativa original diz que, se posto =3, então x\neq 1. Isso é verdade? Se posto =3, sabemos x\neq -1, mas x pode perfeitamente ser 1 (se x=1 temos \det(M)=-1-1=-2\neq0 e posto 3). Assim a conclusão x\neq 1 não segue: é falsa. Portanto (4) é falsa.]
Passo 7
Análise da afirmativa o): S=\{(x,y,x+y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}. Verificar que é subespaço e encontrar dimensão.
Contém o vetor zero: tomando x=0,\;y=0 obtemos (0,0,0)\in S.
Fechamento sob soma: pegue (x_1,y_1,x_1+y_1)\in S e (x_2,y_2,x_2+y_2)\in S. A soma é