Julgue as afirmativas:
(1) \{(1,2,3),(4,5,12),(0,8,0)\} é base de I R^{3};
(2) Se u, v e w são vetores linearmente independentes, então v+w, u+w \mathrm{e} u+v são também linearmente independentes;
(3) Se S é um subconjunto de I R^{3} formado por vetores linearmente dependentes, então podemos afirmar que S tem 4 elementos ou mais;
(4) Se o posto da matriz \\\left[\begin{array}{ccc}1 & x & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0\end{array}\\\right] é 3 , então x \neq 1.
o) S=\left\{(x, y, x+y) \in I R^{3} / x, y \in I R\right\} é um subespaço vetorial de I R^{3} e a dimensão de S é 2 ;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos, sem resolver nada ainda.
  • Precisamos julgar as afirmativas (1) a (4):
    (1) \{(1,2,3),(4,5,12),(0,8,0)\} é base de \mathbb{R}^{3}.
    (2) Se u,v,w são vetores linearmente independentes, então v+w,\;u+w e u+v também são linearmente independentes.
    (3) Se S é um subconjunto de \mathbb{R}^{3} formado por vetores linearmente dependentes, então podemos afirmar que S tem 4 elementos ou mais.
    (4) Se o posto da matriz \left[\begin{array}{ccc}1 & x & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] -1 & 1 & 0\end{array}\right] é 3, então x \neq 1.
  • E a última afirmação (marcada como o)): S=\{(x,y,x+y)\in\mathbb{R}^3 \mid x,y\in\mathbb{R}\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3 e a dimensão de S é 2.
Esses são os enunciados que vou analisar um por um.]

Passo 2

Definições e ideias que vou usar (aulas rápidas e intuitivas):
  • Uma lista de três vetores em \mathbb{R}^3 é base se e só se for linearmente independente (LI) e gerar \mathbb{R}^3. Para testar LI de três vetores em \mathbb{R}^3 convém calcular o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores: determinante não nulo ⇔ vetores LI ⇔ formam base.
  • Vetores u,v,w são LI se a única combinação linear a u + b v + c w = 0 for a=b=c=0.
  • Um conjunto de vetores em \mathbb{R}^3 é linearmente dependente (LD) se existe uma combinação linear não trivial que dá zero; conjuntos com 2 vetores podem ser LD (se um for múltiplo do outro). Não é verdade que LD implique ter pelo menos 4 elementos.
  • O posto (rank) de uma matriz quadrada 3\times3 ser 3 é equivalente a determinante diferente de zero. Então calculo o determinante para relacionar com x.
  • Um subconjunto S de \mathbb{R}^3 é subespaço se contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação por escalar. A dimensão de S é o número máximo de vetores LI que geram S.

Passo 3

Análise da afirmativa (1): testar se \{(1,2,3),(4,5,12),(0,8,0)\} é base de \mathbb{R}^3.
Formo a matriz cujas colunas são esses vetores:
A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0\\[4pt] 2 & 5 & 8\\[4pt] 3 & 12 & 0 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante de A. Usando expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 8\\[4pt]12 & 0\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 8\\[4pt]3 & 0\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}5 & 8\\[4pt]12 & 0\end{pmatrix}=5\cdot0-8\cdot12=-96,
\det\begin{pmatrix}2 & 8\\[4pt]3 & 0\end{pmatrix}=2\cdot0-8\cdot3=-24.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-96)-4\cdot(-24)=-96+96=0.
Como \det(A)=0, as colunas são linearmente dependentes, logo não formam base de \mathbb{R}^3. Conclusão: (1) é falsa.]

Passo 4

Análise da afirmativa (2): seja u,v,w LI. Mostrar se v+w,\;u+w,\;u+v são LI.
Considere uma combinação linear
\alpha (v+w)+\beta (u+w)+\gamma (u+v)=0.
Agrupo pelos vetores u,v,w:
(\beta+\gamma)u+(\alpha+\gamma)v+(\alpha+\beta)w=0.
Como u,v,w são LI, os coeficientes devem ser zero:
\beta+\gamma=0,\qquad \alpha+\gamma=0,\qquad \alpha+\beta=0.
Resolvendo: a partir de \alpha+\beta=0 obtemos \beta=-\alpha. De \alpha+\gamma=0 obtemos \gamma=-\alpha. Então \beta+\gamma=-\alpha-\alpha=-2\alpha=0, portanto \alpha=0. Logo \beta=\gamma=0. A única solução é a trivial, o que mostra que v+w,\;u+w,\;u+v são LI.
Portanto (2) é verdadeira.
Observação didática curta: essa manipulação é um método padrão: escrever combinação linear, agrupar em uma base conhecida e usar a independência dessa base para obter um sistema linear nos coeficientes.

Passo 5

Análise da afirmativa (3): “Se S é subconjunto de \mathbb{R}^3 formado por vetores linearmente dependentes, então podemos afirmar que S tem 4 elementos ou mais.”
Explicação e contraexemplo simples: um conjunto com apenas dois vetores pode ser linearmente dependente se um for múltiplo do outro; por exemplo, S=\{(1,0,0),(2,0,0)\} está contido em \mathbb{R}^3 e é linearmente dependente (porque (2,0,0)-2(1,0,0)=0), e tem apenas 2 elementos. Assim não se pode afirmar que um conjunto LD em \mathbb{R}^3 precisa ter 4 ou mais elementos. Logo (3) é falsa.
Comentário conceitual: em \mathbb{R}^3, qualquer conjunto com mais de 3 vetores é necessariamente LD (por dimensão), mas conjuntos LD podem ter qualquer tamanho \ge 2 (ou até 1 se incluir o vetor zero). Então a afirmação é incorreta.

Passo 6

Análise da afirmativa (4): matriz
M=\begin{pmatrix}1 & x & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] -1 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Diz-se: se o posto de M é 3 então x\neq 1. Vou relacionar posto 3 com determinante.
Para uma matriz 3\times3, ter posto 3 equivale a \det(M)\neq 0. Calculo o determinante (expansão pela primeira linha):
\det(M)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} - x\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-1\cdot1=-1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-1\cdot(-1)=1.
Logo
\det(M)=-1 - x.
Portanto \det(M)\neq 0 se e somente se -1-x\neq 0, isto é x\neq -1.
A afirmativa original diz que, se posto =3, então x\neq 1. Isso é verdade? Se posto =3, sabemos x\neq -1, mas x pode perfeitamente ser 1 (se x=1 temos \det(M)=-1-1=-2\neq0 e posto 3). Assim a conclusão x\neq 1 não segue: é falsa. Portanto (4) é falsa.]

Passo 7

Análise da afirmativa o): S=\{(x,y,x+y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}. Verificar que é subespaço e encontrar dimensão.
  1. Contém o vetor zero: tomando x=0,\;y=0 obtemos (0,0,0)\in S.
  2. Fechamento sob soma: pegue (x_1,y_1,x_1+y_1)\in S e (x_2,y_2,x_2+y_2)\in S. A soma é
(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;x_1+y_1+x_2+y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;(x_1+x_2)+(y_1+y_2)),
que tem a forma (x',y',x'+y') com x'=x_1+x_2,\;y'=y_1+y_2. Logo a soma está em S.
  1. Fechamento sob multiplicação por escalar: para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda(x,y,x+y)=(\lambda x,\lambda y,\lambda(x+y))=(\lambda x,\lambda y,(\lambda x)+(\lambda y)),
novamente da forma exigida. Portanto S é subespaço de \mathbb{R}^3.
Agora dimensão: note que cada vetor de S é determinado livremente pelos parâmetros x,y. Podemos escrever
(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1).
Assim S=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}. Esses dois vetores são linearmente independentes porque se
a(1,0,1)+b(0,1,1)=(0,0,0)
então (a,b,a+b)=(0,0,0) e daí a=0,\;b=0. Logo formam uma base de S com 2 vetores. Portanto \dim(S)=2.
Conclusão: a afirmação o) é verdadeira.

Resposta

(1) Falsa
(2) Verdadeira
(3) Falsa
(4) Falsa
(o) Verdadeira

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