Mostre, pela definição, que:
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^{2}+17 n}{n^{2}+2}=1

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar, usando a definição de limite de sequência, que a sequência
a_{n} = \frac{n^{2}+17n}{n^{2}+2}
converge para 1 quando n\to+\infty. Vamos usar a definição: dado \varepsilon>0, deve existir N tal que para todo n\ge N valha |a_n-1|<\varepsilon.

Passo 2

Calculemos a diferença |a_n-1|:
\left|\frac{n^{2}+17n}{n^{2}+2}-1\right| =\left|\frac{n^{2}+17n-(n^{2}+2)}{n^{2}+2}\right| =\frac{\bigl|17n-2\bigr|}{n^{2}+2}.

Passo 3

Para n\ge1 temos n^{2}+2\ge n^{2} e 17n-2\le17n, logo
\frac{\bigl|17n-2\bigr|}{n^{2}+2}\le\frac{17n}{n^{2}}=\frac{17}{n}.

Passo 4

Dado \varepsilon>0, escolha
N = \max\!\Bigl\{1,\;\bigl\lceil\tfrac{17}{\varepsilon}\bigr\rceil\Bigr\}.
Então, para todo n\ge N segue
|a_n-1|\le\frac{17}{n}\le\frac{17}{N}<\varepsilon.
Isso mostra que, pela definição, a_n\to1.

Resposta

Portanto,
\lim_{n\to+\infty}\frac{n^{2}+17n}{n^{2}+2}=1.

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