Use o critério da razão para mostrar que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}{3^{n} n!}=0.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_n = \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{3^n\,n!}
e pede para mostrar que \lim_{n\to\infty}a_n=0 usando o critério da razão. Para isso, vamos calcular o quociente \frac{a_{n+1}}{a_n} e avaliar seu limite.

Passo 2

Escrevendo a_{n+1}, temos
a_{n+1} = \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)\cdot(2n+1)}{3^{n+1}\,(n+1)!}.
Portanto, o quociente entre termos consecutivos é
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)\,(2n+1)}{3^{n+1}\,(n+1)!}} {\displaystyle\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{3^n\,n!}} = \frac{2n+1}{3\,(n+1)}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite do quociente quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3(n+1)} = \frac{2}{3}.
Como \tfrac{2}{3}<1, o critério da razão nos garante que a_n\to0.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{3^n\,n!}=0.

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