Q. 1 (2,4). Julgue cada afirmativa em verdadeiro ou falso.
(a) Uma função f é contínua se, e somente se, é derivável;
(b) Se cosh (x)=e^x+e^-x2 e senh(x)=e^x-e^-x2, então [cosh (x)]^prime=senh(x);
(c) Se y=u cdot v, então y^prime prime=u^prime prime cdot v+2 cdot u^prime cdot v^prime+u cdot v^prime prime;
(d) A função g(x)=1x possui uma única primitiva.

Passo 1

O enunciado pede para julgar quatro afirmações sobre continuidade, derivação, funções hiperbólicas, regra do produto e primitivas. O conteúdo envolvido é: relação entre continuidade e diferenciabilidade, derivadas de funções hiperbólicas, derivada segunda do produto e existência de primitivas.

Passo 2

Afirmação (a): “Uma função f é contínua se, e somente se, é derivável.”
Teoria: toda função derivável em um ponto é necessariamente contínua ali, mas a recíproca não vale (ex.: função valor absoluto em x=0 é contínua mas não derivável).
Conclusão: a afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmação (b): Dadas
cosh(x)=e^x+e^-x2 e senh(x)=e^x-e^-x2,
sabe-se pela definição que
ddxcosh(x) =e^x-e^-x2 =senh(x)
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): Se y=ucdot v, então
y''=u''cdot v+2,u'cdot v'+ucdot v''
Isso decorre de aplicar a regra do produto duas vezes: primeiro para y'=u'v+uv', depois para derivar esse resultado, obtendo exatamente o termo com 2,u',v'.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Afirmação (d): “A função g(x)=1x possui uma única primitiva.”
Teoria: as primitivas de g são integral x^-1dx=lnlvert xrvert+C, ou seja, há infinita família variando em C. Portanto não é única.
Conclusão: a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Falso

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