Q. 1 (2,4). Julgue cada afirmativa em verdadeiro ou falso.
(a) Uma função
é contínua se, e somente se, é derivável;
(b) Se
, então
;
(c) Se
, então
;
(d) A função
possui uma única primitiva.
(a) Uma função
(b) Se
(c) Se
(d) A função
Passo 1
O enunciado pede para julgar quatro afirmações sobre continuidade, derivação, funções hiperbólicas, regra do produto e primitivas. O conteúdo envolvido é: relação entre continuidade e diferenciabilidade, derivadas de funções hiperbólicas, derivada segunda do produto e existência de primitivas.
Passo 2
Afirmação (a): “Uma função
é contínua se, e somente se, é derivável.”
Teoria: toda função derivável em um ponto é necessariamente contínua ali, mas a recíproca não vale (ex.: função valor absoluto em é contínua mas não derivável).
Conclusão: a afirmação é falsa.
Teoria: toda função derivável em um ponto é necessariamente contínua ali, mas a recíproca não vale (ex.: função valor absoluto em
Conclusão: a afirmação é falsa.
Passo 3
Afirmação (b): Dadas
sabe-se pela definição que
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (c): Se
, então
Isso decorre de aplicar a regra do produto duas vezes: primeiro para
, depois para derivar esse resultado, obtendo exatamente o termo com
.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Afirmação (d): “A função
possui uma única primitiva.”
Teoria: as primitivas de são
, ou seja, há infinita família variando em
. Portanto não é única.
Conclusão: a afirmação é falsa.
Teoria: as primitivas de
Conclusão: a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Falso