Seja f(x, y)=lllx^2 sen((x^2+y^2)^2)x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0), 0 & se & (x, y)=(0,0)
(a) Verifique que f é contínua em (0,0).
(b) Determine partial fpartial y(x, y),(x, y) in R^2.
(c) A função partial fpartial y é contínua em (0,0) ? Justifique.
(d) A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^2,sin!l((x^2+y^2)^2r)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0)
Precisamos verificar continuidade em (0,0), calcular partial f/partial y em R^2, estudar a continuidade dessa derivada em (0,0) e, por fim, checar se f é diferenciável em (0,0). Usaremos estimativas com sin e a definição de derivada parcial e diferenciabilidade.]

Passo 2

Mostramos que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0). Seja
r^2 = x^2+y^2
Então, para (x,y)neq(0,0),
l|f(x,y)r| =x^2r^2;l|sin(r^4)r| <=x^2r^2;r^4 =x^2,r^2
Como x^2r^2<= r^4 e rto0, segue f(x,y)to0. Logo f é contínua em (0,0).

Passo 3

Para (x,y)neq(0,0) escrevemos
f(x,y) =x^2r^2;sin(r^4), r^2=x^2+y^2
Calculamos
partialpartial y!l(x^2r^2r) =-2x^2yr^4, partialpartial y!l(sin(r^4)r) =cos(r^4)cdot4r^3cdotyr =4y,r^2cos(r^4)
Pela regra do produto,
partial fpartial y(x,y) =-2x^2yr^4;sin(r^4) +x^2r^2;4y,r^2cos(r^4)
Para (x,y)=(0,0) temos
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0

Passo 4

Estudamos lim(x,y)to(0,0)partial fpartial y(x,y). Note que l|sin(r^4)r|<= r^4 e l|cos(r^4)r|<=1, então
l|partial fpartial y(x,y)r| <= 2x^2|y|r^4,r^4 +4x^2r^2,|y|,r^2 =2x^2|y|+4x^2|y| =6x^2|y|
Como 6x^2|y|to0 quando (x,y)to(0,0), segue
partial f/partial y tende a 0, que é partial f/partial y(0,0). Logo partial f/partial y é contínua em (0,0).

Passo 5

Para diferenciabilidade em (0,0) usamos que partial f/partial x(0,0)=0 e partial f/partial y(0,0)=0. Basta verificar
f(h,k)-0-0cdot h-0cdot kraizh^2+k^2 =f(h,k)raizh^2+k^2 ;longrightarrow;0 quando (h,k)to(0,0)
Mas já vimos em

Passo 6

l|f(h,k)r|<= h^2(h^2+k^2), então
l|f(h,k)r|<= raizh^2+k^2^,3 Longrightarrow l|f(h,k)r|raizh^2+k^2 <= raizh^2+k^2^,2 ;longrightarrow;0
Portanto f é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) f é contínua em (0,0).
(b) Para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial y(x,y) =-2x^2y(x^2+y^2)^2;sinl((x^2+y^2)^2r) +4x^2y;cosl((x^2+y^2)^2r),
e partial fpartial y(0,0)=0.
(c) partial f/partial y é contínua em (0,0).
(d) f é diferenciável em (0,0).

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