Seja
(a) Verifique que f é contínua em (0,0).
(b) Determine partial fpartial y(x, y),(x, y) in R^2.
(c) A função partial fpartial y é contínua em (0,0) ? Justifique.
(d) A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique.
Precisamos verificar continuidade em (0,0), calcular partial f/partial y em R^2, estudar a continuidade dessa derivada em (0,0) e, por fim, checar se f é diferenciável em (0,0). Usaremos estimativas com sin e a definição de derivada parcial e diferenciabilidade.]
Passo 2
Mostramos que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0). Seja
Como 6x^2|y|to0 quando (x,y)to(0,0), segue partial f/partial y tende a 0, que é partial f/partial y(0,0). Logo partial f/partial y é contínua em (0,0).
Passo 5
Para diferenciabilidade em (0,0) usamos que partial f/partial x(0,0)=0 e partial f/partial y(0,0)=0. Basta verificar
f(h,k)-0-0cdot h-0cdot kraizh^2+k^2 =f(h,k)raizh^2+k^2 ;longrightarrow;0 quando (h,k)to(0,0)