Julgue os itens abaixo:
Não existe número real x que satisfaça a inequação |\cos x| \geqslant 1.

Passo 1

O enunciado afirma: "Não existe número real x que satisfaça a inequação |\cos x| \geqslant 1".
O que se pede: julgar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Informações dadas: a inequação é |\cos x| \geqslant 1, com x variando em \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade fundamental da função cosseno que usamos muito em provas: para todo x\in\mathbb{R} vale a identidade trigonométrica
\sin^2 x + \cos^2 x = 1.
Daí segue que \cos^2 x \leqslant 1 porque \sin^2 x \geqslant 0. Tirando raiz quadrada não negativa, obtemos
|\cos x| \leqslant 1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Essa é a razão pela qual dizemos que o cosseno tem imagem contida no intervalo [-1,1].

Passo 3

A inequação que temos é |\cos x| \geqslant 1. Juntando com o que vimos no passo anterior, para qualquer x temos simultaneamente
|\cos x| \leqslant 1 \quad\text{e}\quad |\cos x| \geqslant 1.
A única maneira de satisfazer ambas é ter igualdade:
|\cos x| = 1.
Logo não procuramos valores com |\cos x|>1 (impossível), mas sim os x tais que |\cos x|=1.

Passo 4

Resolver |\cos x| = 1 equivale a resolver \cos x = 1 ou \cos x = -1.
  • Para \cos x = 1 a solução geral é
x = 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
pois o cosseno vale 1 nos múltiplos pares de \pi.
  • Para \cos x = -1 a solução geral é
x = (2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
pois o cosseno vale -1 nos múltiplos ímpares de \pi.
Podemos juntar as duas famílias escrevendo de forma compacta
x = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
porque para k par temos \cos(k\pi)=1 e para k ímpar temos \cos(k\pi)=-1; em ambos os casos |\cos(k\pi)|=1.

Passo 5

Concluímos que existem (na verdade infinitos) números reais que satisfazem |\cos x| \geqslant 1: todos os x da forma x=k\pi com k\in\mathbb{Z}. Portanto a afirmação do enunciado é falsa.

Resposta

Falso.

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