Julgue os itens abaixo:
Não existe número real
que satisfaça a inequação
.
Não existe número real
Passo 1
O enunciado afirma: "Não existe número real
que satisfaça a inequação
".
O que se pede: julgar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Informações dadas: a inequação é , com
variando em
.
O que se pede: julgar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Informações dadas: a inequação é
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade fundamental da função cosseno que usamos muito em provas: para todo
vale a identidade trigonométrica
Daí segue que
porque
. Tirando raiz quadrada não negativa, obtemos
Essa é a razão pela qual dizemos que o cosseno tem imagem contida no intervalo
.
Passo 3
A inequação que temos é
. Juntando com o que vimos no passo anterior, para qualquer
temos simultaneamente
A única maneira de satisfazer ambas é ter igualdade:
Logo não procuramos valores com
(impossível), mas sim os
tais que
.
Passo 4
Resolver
equivale a resolver
ou
.
- Para
a solução geral é
pois o cosseno vale
nos múltiplos pares de
.
- Para
a solução geral é
pois o cosseno vale
nos múltiplos ímpares de
.
Podemos juntar as duas famílias escrevendo de forma compacta
porque para
par temos
e para
ímpar temos
; em ambos os casos
.
Passo 5
Concluímos que existem (na verdade infinitos) números reais que satisfazem
: todos os
da forma
com
. Portanto a afirmação do enunciado é falsa.
Resposta
Falso.