Julgue os itens a seguir em certo ou errado. Para os itens certos, demonstre o fato; para os itens errados, dê um contra-exemplo.
( ) Sejam A, B in Mn(R), com A inversível. Se A B=0, então B=0.

Passo 1

O enunciado afirma que, dadas matrizes A,BinMn(R) com A inversível e sabendo que AB=0, devemos concluir se necessariamente B=0. O conteúdo usado aqui é a propriedade de que multiplicar por uma matriz inversível “não anula” informação, pois existe A^-1 tal que A^-1A=I.

Passo 2

Como A é inversível, existe A^-1 com A^-1A=In. Multiplicamos a equação AB=0 pela esquerda por A^-1:
A^-1(AB) = A^-10
Pela associatividade do produto de matrizes, o lado esquerdo fica
(A^-1A)B = In,B = B,
e o lado direito é simplesmente 0. Logo
B = 0

Resposta

Certo

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