Seja a um número real e considere a matriz A=(cc1 & a 0 & -1). Determine A^2019.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & a 0 & -1
e pede A^2019. Aqui o conteúdo é potenciação de matriz triangular superior: as entradas da diagonal elevada a n são 1^n e (-1)^n, e a entrada acima da diagonal satisfaz uma relação de recorrência que vamos encontrar.

Passo 2

Suponha que, para todo n>=1,
A^n = 1 & bn 0 & (-1)^n
Então
A^n+1 = A^n,A = 1 & bn 0 & (-1)^n 1 & a 0 & -1 = 1 & a - bn 0 & (-1)^n+1
Isto mostra que
bn+1 = a - bn,
com condição inicial b1 = a.

Passo 3

Para resolver a recorrência bn+1+bn=a com b1=a, note que a solução geral é
bn = C(-1)^n + tfraca2
Usando b1=a obtemos
a = C(-1)^1 + tfraca2 Longrightarrow C = -tfraca2
Logo
bn = -tfraca2(-1)^n + tfraca2 = al(1 - (-1)^nr)2

Passo 4

Para n=2019 (ímpar) temos (-1)^2019=-1, logo
b2019 = al(1 - (-1)r)2 = 2a2 = a
E as entradas da diagonal são
1^2019=1, (-1)^2019=-1

Resposta

A^2019 = 1 & a 0 & -1

Exercícios relacionados