Julgue, e justifique, se cada uma das séries abaixo, são convergentes ou divergentes.
sumn=1^+infty n^2(n+2)!n!3^2 n(R : converge )

Passo 1

O enunciado pede para julgar a convergência da série
sumn=1^+infty n^2,(n+2)!n!,3^2n
O conteúdo envolvido é séries numéricas e, para decidir convergência, vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral usando
(n+2)!n! = (n+2)(n+1)
Logo o n-ésimo termo da série fica
an = n^2,(n+2)(n+1)3^2n = n^2(n+2)(n+1)9^n

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, isto é, analisamos
limntoinftyan+1an
Temos
an+1an = (n+1)^2(n+3)(n+2),/,9^,n+1 n^2(n+2)(n+1),/,9^n = (n+1)(n+3)9,n^2
Agora
limntoinfty(n+1)(n+3)9,n^2 = 19

Passo 4

Como o limite da razão é
19 < 1,
o teste da razão garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge.

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