Julgue verdadeiro ou falso. Justifique.
O m.d.c. entre dois elementos em
é único;
O m.d.c. entre dois elementos em
Passo 1
O enunciado pergunta se, em
, o máximo divisor comum (m.d.c.) de dois polinômios é necessariamente único. Vamos usar a definição de m.d.c. em anéis de polinômios sobre corpo e estudar o papel das unidades em
.
Passo 2
Em qualquer anel comutativo, um polinômio
é chamado de m.d.c. de
e
se satisfaz dois requisitos:
-
divide e divide . - Qualquer outro polinômio que divida simultaneamente
e também divide .
Passo 3
Em
, as unidades (elementos invertíveis) são exatamente os polinômios constantes não nulos, ou seja, qualquer
. Se
é um m.d.c. de
e
, então para qualquer
em
temos:
e todo divisor comum de
e
divide
, logo também divide
. Assim,
satisfaz os dois requisitos de m.d.c.
Passo 4
Como podemos multiplicar qualquer m.d.c. por uma unidade
e obter outro m.d.c., concluímos que há infinitos m.d.c. em
que diferem apenas por uma constante racional. Ou seja, o m.d.c. não é único a menos que se imponha uma normalização (por exemplo, exigir que ele seja monico).
Resposta
Falso. O m.d.c. em
só é único até multiplicação por unidade (constante não nula), não existe uma única escolha sem normalização.