Julgue verdadeiro ou falso. Justifique.
O m.d.c. entre dois elementos em Q[X] é único;

Passo 1

O enunciado pergunta se, em Q[X], o máximo divisor comum (m.d.c.) de dois polinômios é necessariamente único. Vamos usar a definição de m.d.c. em anéis de polinômios sobre corpo e estudar o papel das unidades em Q[X].

Passo 2

Em qualquer anel comutativo, um polinômio d é chamado de m.d.c. de f e g se satisfaz dois requisitos:
  1. d divide f e d divide g.
  2. Qualquer outro polinômio que divida simultaneamente f e g também divide d.

Passo 3

Em Q[X], as unidades (elementos invertíveis) são exatamente os polinômios constantes não nulos, ou seja, qualquer qinQsetminus0. Se d é um m.d.c. de f e g, então para qualquer qneq0 em Q temos:
q,d também divide fe q,d também divide g, éé
e todo divisor comum de f e g divide d, logo também divide q,d. Assim, q,d satisfaz os dois requisitos de m.d.c.

Passo 4

Como podemos multiplicar qualquer m.d.c. por uma unidade qneq0 e obter outro m.d.c., concluímos que há infinitos m.d.c. em Q[X] que diferem apenas por uma constante racional. Ou seja, o m.d.c. não é único a menos que se imponha uma normalização (por exemplo, exigir que ele seja monico).

Resposta

Falso. O m.d.c. em Q[X] só é único até multiplicação por unidade (constante não nula), não existe uma única escolha sem normalização.

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