Julgue verdadeiro ou falso. Justifique.
(Z[i])[X] não é um DFU;

Passo 1

O enunciado pede para julgar se (Z[i])[X] não é um domínio de fatoração única (DFU). O conteúdo envolvido é teoria de DFU e o lema de Gauss que liga UFDs a anéis de polinômios.

Passo 2

Mostramos que Z[i] é um UFD. De fato, define-se a norma
N(a+bi)=a^2+b^2,
que torna Z[i] um domínio euclidiano. Todo domínio euclidiano é um PID e, consequentemente, um UFD.

Passo 3

Pelo lema de Gauss, se R é UFD então o anel de polinômios R[X] também é UFD. Aplicando com R=Z[i], concluímos que (Z[i])[X] é UFD.

Resposta

Falso. (Z[i])[X] é um domínio de fatoração única.

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