Verifique quais das aplicações a seguir são transformações lineares:
T: Rn[x] R^n dada por T(an x^n+cdots+a0)=(a0, a1, ldots, an);

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon Rn[x]to R^n
por
Tl(anx^n+cdots+a1x+a0r)=(a0,a1,dots,an),
Precisamos verificar se T preserva soma e multiplicação por escalar, ou seja, se é uma transformação linear.

Passo 2

Definição de transformação linear: T é linear se, para todo p,qin Rn[x] e todo escalar cin R, valerem
T(p+q)=T(p)+T(q) e T(c,p)=c,T(p)

Passo 3

Sejam
p(x)=sumk=0^n ak x^k e q(x)=sumk=0^n bk x^k
Então
p(x)+q(x)=sumk=0^n (ak+bk),x^k
e
Tl(p+qr) =(a0+b0,;a1+b1,dots,an+bn) =(a0,dots,an)+(b0,dots,bn) =T(p)+T(q)

Passo 4

Para escalar cinR,
c,p(x)=sumk=0^n (c,ak),x^k
e
T(c,p) =(c,a0,;c,a1,dots,c,an) =c,(a0,dots,an) =c,T(p)
Portanto T satisfaz as duas propriedades.

Resposta

A aplicação T é uma transformação linear.

Exercícios relacionados