Julgue verdadeiro ou falso. Justifique.
O polinômio f(X)=2 X^4+3 X^3+12 X^2+6 X+6 é irredutível em Z[X].

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o polinômio
f(X) = 2X^4 + 3X^3 + 12X^2 + 6X + 6
é irredutível em Z[X]. Para isso vamos usar o critério de Eisenstein, que é um método eficiente para detectar irredutibilidade em Q[X] (e, portanto, em Z[X]), sem testar fatorações explícitas.

Passo 2

O critério de Eisenstein afirma que, se existir um primo p tal que
  1. p não divide o coeficiente líder,
  2. p divide todos os outros coeficientes,
  3. p^2 não divide o termo independente,
    então o polinômio é irreduzível em Q[X].
Aqui escolhemos p=3. Vejamos:
  • O coeficiente líder é 2, e 3nmid2.
  • Os demais coeficientes são 3,12,6,6, e de fato 3mid3, 3mid12, 3mid6, 3mid6.
  • O termo independente é 6, e 3^2=9nmid6.
Portanto, todas as hipóteses do critério de Eisenstein com p=3 estão satisfeitas.

Passo 3

Pelo critério de Eisenstein concluímos que f(X) é irreduzível em Q[X]. Como um polinômio que é irreduzível em Q[X] e tem coeficientes inteiros também é irreduzível em Z[X], segue-se que f(X) é irreduzível em Z[X].

Resposta

Verdadeiro.

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