Julgue verdadeiro ou falso. Justifique.
O polinômio
é irredutível em
.
O polinômio
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o polinômio
é irredutível em
. Para isso vamos usar o critério de Eisenstein, que é um método eficiente para detectar irredutibilidade em
(e, portanto, em
), sem testar fatorações explícitas.
Passo 2
O critério de Eisenstein afirma que, se existir um primo
tal que
-
não divide o coeficiente líder, -
divide todos os outros coeficientes, -
não divide o termo independente,
então o polinômio é irreduzível em.
Aqui escolhemos
. Vejamos:
- O coeficiente líder é
, e . - Os demais coeficientes são
, e de fato , , , . - O termo independente é
, e .
Portanto, todas as hipóteses do critério de Eisenstein com
estão satisfeitas.
Passo 3
Pelo critério de Eisenstein concluímos que
é irreduzível em
. Como um polinômio que é irreduzível em
e tem coeficientes inteiros também é irreduzível em
, segue-se que
é irreduzível em
.
Resposta
Verdadeiro.