Junte-se a mais um colega para realizar estas atividades. Utilizem uma calculadora científica.
Dada a função f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}, ao atribuir a x valores maiores que 100000000 e comparar com o valor de e obtido na calculadora, o que vocês podem concluir?

Passo 1

O enunciado pede para investigar numericamente a função
f(x)=\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}
para valores de x maiores que 100{,}000{,}000 e comparar esse resultado com o valor de e que a calculadora fornece. O conteúdo principal é reconhecer que isso está ligado à definição do número de Euler como limite.

Passo 2

Lembrando a definição clássica do número de Euler, temos
e = \lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}.
Ou seja, conforme x cresce muito, o valor de f(x) deve se aproximar cada vez mais de e\approx2{,}718281828.

Passo 3

Em uma calculadora científica, atribuímos x=10^{8}, x=5\cdot10^{8}, x=10^{9} etc., e obtemos algo como:
f(10^{8})\approx2{,}718281842,\quad f(10^{9})\approx2{,}718281828.
Esses números estão muito próximos do valor exibido pela tecla e da calculadora (geralmente 2{,}718281828).

Passo 4

A pequena diferença entre f(x) e o valor de e vem da precisão finita da calculadora e do fato de que, para cada x finito, \bigl(1+1/x\bigr)^{x} nunca atinge exatamente e, mas aproxima-se dele de forma monótona por baixo. À medida que x cresce, essa aproximação melhora até atingir os dígitos que a calculadora consegue representar.

Resposta

Concluímos que
\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}
converge para e quando x tende a infinito. Em cálculos práticos com x>100{,}000{,}000, o valor de f(x) coincide com o valor de e na calculadora até a precisão de seus dígitos, confirmando a definição de Euler.

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