Justificando sua resposta, afirme sobre a convergência ou divergência das sequências.
\left\{\frac{\ln (n+1)}{n+1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
\displaystyle a_{n} = \frac{\ln(n+1)}{\,n+1\,}.
O conteúdo envolvido é o cálculo de limite de sequência usando comparação de taxas de crescimento (ou L’Hôpital). Nosso objetivo é determinar
\displaystyle L = \lim_{n\to\infty}a_{n}.

Passo 2

Como n cresce sem limite, podemos tratar a_{n} como o valor da função contínua
f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x+1}
em x=n. Assim, basta calcular
\lim_{x\to\infty} \frac{\ln(x+1)}{x+1}.

Passo 3

Para avaliar esse limite, aplicamos o Teorema de L’Hôpital, já que o formato é \infty/\infty. Derivando numerador e denominador, temos:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x+1)}{x+1} = \lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac{d}{dx}\ln(x+1)}{\tfrac{d}{dx}(x+1)} = \lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac{1}{x+1}}{1} = 0.

Passo 4

Encontramos
\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0,
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\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. Como o limite existe e é finito, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{\,n+1\,}=0.

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