Usando o que você estudou em séries infinitas e justificando sua resposta, escreva o número r=0,25555 \ldots como uma fração de inteiros. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para escrever
r = 0,25555\ldots
como uma fração de inteiros.
O conteúdo aqui é séries infinitas, mais especificamente séries geométricas. Vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita para representar a parte repetitiva do número.

Passo 2

Separemos r em duas partes: a parte finita 0,2 e a parte infinita que repete 5, ou seja,
r = 0,2 + 0,05555\ldots.

Passo 3

Observe a parte repetitiva
0,05555\ldots = 0,05 + 0,005 + 0,0005 + \cdots.
Isso é uma série geométrica de primeira parcela a = 0,05 e razão q = 0,1.

Passo 4

A soma S dessa série geométrica infinita é
S = \frac{a}{1-q} = \frac{0,05}{1-0,1} = \frac{0,05}{0,9} = \frac{5}{100}\cdot\frac{1}{0,9} = \frac{5}{100}\cdot\frac{10}{9} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}.
Logo,
0,05555\ldots = \frac{1}{18}.

Passo 5

Agora voltamos a r:
r = 0,2 + \frac{1}{18} = \frac{2}{10} + \frac{1}{18} = \frac{1}{5} + \frac{1}{18} = \frac{18}{90} + \frac{5}{90} = \frac{23}{90}.

Resposta

\frac{23}{90}.

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