Justificando sua resposta, afirme sobre a convergência ou divergência das sequências.
\left\{\frac{5 n^{2}}{3 n+1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_n = \frac{5\,n^{2}}{3\,n+1}
e dizer se ela converge ou diverge. O conteúdo envolvido é limite de sequência racional, onde comparamos os graus dos polinômios no numerador e denominador.

Passo 2

Compare o grau do numerador ( 2) com o grau do denominador ( 1). Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o termo dominante cresce sem limite, indicando que
a_n \to +\infty
à medida que n\to\infty.

Passo 3

Para formalizar, divida numerador e denominador por n:
\frac{5\,n^{2}}{3\,n+1} = \frac{\tfrac{5\,n^{2}}{n}}{\tfrac{3\,n+1}{n}} = \frac{5\,n}{3 + \frac{1}{n}}.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{5\,n}{3 + \frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{5\,n}{3} = +\infty.
Logo, a sequência cresce sem limite.

Resposta

A sequência diverge, pois
\lim_{n\to\infty}\frac{5\,n^{2}}{3\,n+1}=+\infty.

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