Justificando sua resposta, afirme sobre a convergência ou divergência das séries seguintes (informe sempre o nome do teste e/ou da sequência utilizada como referência). (1,5 ponto cada item)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}
converge ou diverge. O conteúdo principal é teste de convergência de séries numéricas e, para este caso, vamos aplicar o teste da divergência (ou teste do termo geral).

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_{n} = \frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}.
Para usar o teste da divergência, calculamos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1} =\frac{1-0}{1+0} =1.

Passo 3

O teste da divergência diz que, se \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0, a série \sum a_{n} necessariamente diverge. Como obtivemos \lim_{n\to\infty}a_{n}=1\neq 0, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge por teste da divergência (teste do termo geral), pois o termo geral não tende a zero.

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