Questāo 03. (2,0 pontos) - Usando o que vocé estudou em séries infinitas e justificando sua resposta, escreva o número r=0,777 \ldots como uma fração de números inteiros.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número r = 0,777\ldots como uma fração de inteiros, usando séries infinitas. O conteúdo envolvido é a soma de uma série geométrica infinita, cuja forma geral é
\sum_{n=0}^{\infty} a\,q^n = \frac{a}{1-q},\quad\text{para }|q|<1.

Passo 2

Observe que
r = 0,777\ldots = 0{,}7 + 0{,}07 + 0{,}007 + \cdots.
Cada termo pode ser escrito como 7\cdot10^{-1},\,7\cdot10^{-2},\,7\cdot10^{-3},\dots. Logo
r = \sum_{n=1}^{\infty} 7\cdot10^{-n}.

Passo 3

Na série \sum_{n=1}^\infty a\,q^{\,n-1} temos primeiro termo a e razão q. Aqui podemos reescrever
r = \sum_{n=1}^{\infty} \Bigl(7\cdot10^{-1}\Bigr)\bigl(10^{-1}\bigr)^{\,n-1}
onde a = 7\cdot10^{-1} e q = 10^{-1}. Aplicando a fórmula da soma:
r = \frac{a}{1-q} = \frac{7\cdot10^{-1}}{1 - 10^{-1}} = \frac{7/10}{1 - 1/10} = \frac{7/10}{9/10} = \frac{7}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{9}

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