Questão 02. (2,0 pontos) - A partir da expresão da n-ésima soma parcial, encontre o valor da soma da série.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k\,(k+1)}
usando a n-ésima soma parcial. O conteúdo é séries numéricas e a técnica que vamos usar é a telescópica, que exige decompor o termo geral em frações parciais.

Passo 2

Começamos decompondo o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{k\,(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1}.
Multiplicando por k(k+1), obtemos
1 = A\,(k+1) + B\,k = (A+B)\,k + A.
Comparando coeficientes em k e termos constantes, vem
A + B = 0, \quad A = 1,
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A=1, \quad B=-1,
e portanto
\frac{1}{k\,(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}.

Passo 3

Agora definimos a n-ésima soma parcial
S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k\,(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \Bigl(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\Bigr).
Ao escrever os primeiros termos, vemos o cancelamento em cadeia (efeito telescópico):
S_n = \bigl(1 - \tfrac12\bigr) + \bigl(\tfrac12 - \tfrac13\bigr) + \bigl(\tfrac13 - \tfrac14\bigr) + \cdots + \bigl(\tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{n+1}\bigr).

Passo 4

Quase todos os termos internos se cancelam, sobrando apenas
S_n = 1 - \frac{1}{n+1}.

Passo 5

Para obter a soma da série, tomamos o limite de S_n quando n\to\infty:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k\,(k+1)} = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{n+1}\Bigr) = 1.

Resposta

1

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