Questão 02. (2,0 pontos) - A partir da expresão da n-ésima soma parcial, encontre o valor da soma da série.
Passo 1
O enunciado pede a soma da série
usando a
-ésima soma parcial. O conteúdo é séries numéricas e a técnica que vamos usar é a telescópica, que exige decompor o termo geral em frações parciais.
Passo 2
Começamos decompondo o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando por
, obtemos
Comparando coeficientes em
e termos constantes, vem
logo
e portanto
Passo 3
Agora definimos a
-ésima soma parcial
Ao escrever os primeiros termos, vemos o cancelamento em cadeia (efeito telescópico):
Passo 4
Quase todos os termos internos se cancelam, sobrando apenas
Passo 5
Para obter a soma da série, tomamos o limite de
quando
: