Justificar o uso da regra de Cramer para discutir a condição linear de n vetores do R^n.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que justificar o uso da Regra de Cramer para discutir a condição linear de n vetores no espaço R^n. Ou seja, vamos ver como a Regra de Cramer pode nos ajudar a determinar se esses vetores são linearmente independentes ou dependentes. Para isso, vamos precisar entender o que são sistemas lineares, determinantes e como a Regra de Cramer funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são vetores linearmente independentes. Um conjunto de vetores é dito ser linearmente independente se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. No contexto de R^n, estamos lidando com n vetores em um espaço de n dimensões.

Passo 3

Agora, para verificar a independência linear desses n vetores, podemos montar um sistema linear onde cada vetor representa uma coluna de uma matriz A. Assim, temos um sistema Ax = 0, onde x é um vetor de coeficientes.

Passo 4

A Regra de Cramer nos dá uma maneira de resolver sistemas lineares usando determinantes. Ela só pode ser aplicada quando a matriz dos coeficientes A é não singular, ou seja, quando o seu determinante det(A) é diferente de zero.

Passo 5

Se det(A) neq 0, isso significa que o único solução para o sistema Ax = 0 é a solução trivial x = 0. Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Por outro lado, se det(A) = 0, o sistema Ax = 0 tem infinitas soluções, o que implica que existe uma combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor zero. Assim, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 7

Portanto, a Regra de Cramer é uma ferramenta eficaz para determinar a condição linear de n vetores em R^n porque nos permite usar o determinante da matriz formada por esses vetores para verificar se eles são independentes ou dependentes.

Resposta

A Regra de Cramer é adequada para discutir a condição linear de n vetores em R^n porque, ao calcular o determinante da matriz formada por esses vetores, podemos facilmente determinar se são linearmente independentes ( det(A) neq 0) ou dependentes ( det(A) = 0), facilitando a análise da sua independência linear.

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