Justificar o uso da regra de Cramer para discutir a condição linear de
vetores do
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que justificar o uso da Regra de Cramer para discutir a condição linear de n vetores no espaço
. Ou seja, vamos ver como a Regra de Cramer pode nos ajudar a determinar se esses vetores são linearmente independentes ou dependentes. Para isso, vamos precisar entender o que são sistemas lineares, determinantes e como a Regra de Cramer funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são vetores linearmente independentes. Um conjunto de vetores é dito ser linearmente independente se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. No contexto de
, estamos lidando com
vetores em um espaço de
dimensões.
Passo 3
Agora, para verificar a independência linear desses
vetores, podemos montar um sistema linear onde cada vetor representa uma coluna de uma matriz
. Assim, temos um sistema
, onde
é um vetor de coeficientes.
Passo 4
A Regra de Cramer nos dá uma maneira de resolver sistemas lineares usando determinantes. Ela só pode ser aplicada quando a matriz dos coeficientes
é não singular, ou seja, quando o seu determinante
é diferente de zero.
Passo 5
Se
, isso significa que o único solução para o sistema
é a solução trivial
. Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Por outro lado, se
, o sistema
tem infinitas soluções, o que implica que existe uma combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor zero. Assim, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 7
Portanto, a Regra de Cramer é uma ferramenta eficaz para determinar a condição linear de
vetores em
porque nos permite usar o determinante da matriz formada por esses vetores para verificar se eles são independentes ou dependentes.
Resposta
A Regra de Cramer é adequada para discutir a condição linear de
vetores em
porque, ao calcular o determinante da matriz formada por esses vetores, podemos facilmente determinar se são linearmente independentes (
) ou dependentes (
), facilitando a análise da sua independência linear.