Seja e B=[ccca11 & a12+3 a11 & a13 2 a31 & 2 a32+6 a31 & 2 a33 a21 & a22+3 a21 & a23]. Sabendo que o determinate de A é d, calcule o determinante de B.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, A e B , onde A é uma matriz 3 times 3 e B é formada a partir de A com algumas modificações nos elementos. Sabemos que o determinante de A é d , e queremos encontrar o determinante de B . Para isso, vamos usar os conceitos de determinantes e como operações em linhas ou colunas afetam o determinante de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a matriz B foi construída a partir de A . Observando os elementos de B , percebemos que:
Primeira linha de B : [a11, a12 + 3a11, a13]
Segunda linha de B : [2a31, 2a32 + 6a31, 2a33]
Terceira linha de B : [a21, a22 + 3a21, a23]
Isso sugere que em B , estamos fazendo algumas operações nas colunas e também escalando uma das linhas.
Passo 3
Vamos focar nas colunas primeiro. Observamos que na matriz B :
Coluna 2 de B : É igual à coluna 2 de A mais 3 vezes a coluna 1 de A . Ou seja:
Coluna 2 de B = Coluna 2 de A + 3 times Coluna 1 de A
Essa operação de adicionar um múltiplo de uma coluna a outra coluna é uma operação de tipo 2 e, fundamentalmente, não altera o determinante de uma matriz. Isso porque essa operação é equivalente a uma das transformações elementares de colunas que mantém o determinante inalterado.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda linha de B : [2a31, 2a32 + 6a31, 2a33] . Podemos fatorar o 2 dessa linha inteira:
Segunda linha de B = 2 times [a31, a32 + 3a31, a33]
Aqui, estamos escalando a segunda linha da matriz resultante por 2. Uma propriedade importante dos determinantes é que quando uma linha de uma matriz é multiplicada por um escalar k , o determinante é multiplicado por k .
Passo 5
Até agora, identificamos que:
A partir de A , adicionamos 3 vezes a coluna 1 à coluna 2 para formar B , o que não altera o determinante.
Em seguida, multiplicamos a segunda linha por 2, o que multiplica o determinante por 2.
Como a primeira operação não mudou o determinante e a segunda operação multiplicou o determinante por 2, podemos concluir que o determinante de B é 2 vezes o determinante de A .