Seja
Determine todos os valores possíveis de a para que o Nuc(A) neq0.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente tem uma matriz A de tamanho 4 times 3 assim:
A = 1 & 0 & -2 0 & 2 & 2 2 & 1 & -1 -1 & 1 & a^2
O que queremos descobrir são todos os valores de a para os quais o núcleo de A (ou seja, o conjunto de soluções da equação Ax = 0 ) não seja apenas o vetor zero. Em termos mais simples, queremos saber quando existem soluções não triviais para essa equação. Para resolver isso, vamos precisar lidar com conceitos de álgebra linear, como a noção de independência linear e o posto da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de A ser diferente de zero. Se Nuc(A) neq 0 , isso quer dizer que existe algum vetor x neq 0 que satisfaz Ax = 0 . Isso acontece exatamente quando as colunas de A são linearmente dependentes, ou seja, uma das colunas pode ser escrita como combinação linear das outras.
Passo 3
Para verificar se as colunas de A são linearmente dependentes, podemos montar um sistema linear e verificar se ele tem soluções não triviais. Isso está diretamente relacionado ao posto da matriz A . Se o posto de A for menor que o número de colunas (no caso, 3), então as colunas são dependentes e Nuc(A) não é trivial.
Passo 4
Vamos calcular o posto da matriz A . Uma maneira de fazer isso é utilizando o método da eliminação de Gauss para reduzir A à sua forma escalonada. Se encontrarmos que existem menos de 3 pivôs, isso significa que o posto de A é menor que 3, e portanto as colunas são dependentes.
Passo 5
Vamos aplicar a eliminação de Gauss na matriz A :
A = 1 & 0 & -2 0 & 2 & 2 2 & 1 & -1 -1 & 1 & a^2
Primeiro, usamos o primeiro elemento da primeira linha (que é 1) para zerar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
Agora, olhamos para o terceiro elemento da terceira linha (que é 2). Queremos que exista pelo menos um pivô na terceira coluna. Se a^2 - 3 neq 0 , temos dois pivôs na terceira coluna, o que significa que o posto de A é 3, e o núcleo é trivial.
No entanto, se a^2 - 3 = 0 , então a última entrada se torna zero, reduzindo o posto da matriz para 2, o que implica que o núcleo de A não é apenas o vetor zero.
Passo 8
Vamos resolver a equação a^2 - 3 = 0 :
a^2 = 3 a = raiz3 ou a = -raiz3
Resposta
Os valores de a que fazem com que Nuc(A) neq 0 são a = raiz3 e a = -raiz3 .