Justifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
Seja u=(1,1,0), v=(2,0,1), w1=2 v-3 u, w2=-u-3 v e w3=-imath-jmath+2 k. O volume do paralelepípedo determinado por w1, w2, w3 é 44 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se o volume do paralelepípedo formado pelos vetores w1, w2, w3 é igual a 44. Isso é matéria de Geometria Analítica, especificamente envolvendo vetores e o cálculo de volumes usando produtos vetoriais e escalares. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto escalar triplo desses vetores, que nos dá o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as componentes dos vetores w1 e w2 usando as expressões dadas:
w1 = 2v - 3u = 2(2,0,1) - 3(1,1,0) = (4,0,2) - (3,3,0) = (1,-3,2)
w2 = -u - 3v = -(1,1,0) - 3(2,0,1) = (-1,-1,0) - (6,0,3) = (-7,-1,-3)
E o terceiro vetor já está dado:
w3 = (-1,-1,2)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial w2 times w3. O produto vetorial entre dois vetores (a,b,c) e (d,e,f) é dado por:
w2 times w3 = imath & jmath & k -7 & -1 & -3 -1 & -1 & 2
Calculando o determinante:
imath((-1)(2) - (-3)(-1)) - jmath((-7)(2) - (-3)(-1)) + k((-7)(-1) - (-1)(-1)) = imath(-2 - 3) - jmath(-14 - 3) + k(7 - 1) = (-5)imath + (17)jmath + (6)k
Então:
w2 times w3 = (-5, 17, 6)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar de w1 com o resultado que obtivemos:
w1 cdot (w2 times w3) = (1, -3, 2) cdot (-5, 17, 6) = (1)(-5) + (-3)(17) + (2)(6) = -5 - 51 + 12 = -44

Passo 5

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse produto escalar:
V = |w1 cdot (w2 times w3)| = |-44| = 44

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois o volume do paralelepípedo é de fato 44.

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