Justifique ou dê contra-exemplo para as implicações seguintes:
a<b=a^3<b^3;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, dados a,binR, a condição
a<b
implica necessariamente
a^3<b^3
Para resolver, vamos usar fatoração de diferença de cubos e analisar sinais.

Passo 2

Vamos escrever a diferença
b^3 - a^3
usando a identidade de fatoração de cubos:
b^3 - a^3 = (b - a),(b^2 + ab + a^2)

Passo 3

Como estamos supondo a<b, temos b - a > 0.
Além disso, para quaisquer a,binR, o termo
b^2 + ab + a^2
é sempre positivo. Por exemplo, note que a equação b^2 + ab + a^2 = 0 não tem raízes reais (o discriminante é De<a = a^2 - 4a^2 = -3a^2<0), logo b^2+ab+a^2>0 para todo a,b.

Passo 4

Tendo os dois fatores (b-a) e (b^2+ab+a^2) estritamente positivos, concluímos que
b^3 - a^3 > 0,
ou seja,
a^3 < b^3

Resposta

A implicação é verdadeira: sempre que a<b em R, segue-se que a^3<b^3.
Portanto, não há contra-exemplo; a propriedade vale para todos os reais.

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