Justifique ou dê contra-exemplo para as implicações seguintes:
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, dados
, a condição
implica necessariamente
Para resolver, vamos usar fatoração de diferença de cubos e analisar sinais.
Passo 2
Vamos escrever a diferença
usando a identidade de fatoração de cubos:
Passo 3
Como estamos supondo
, temos
.
Além disso, para quaisquer , o termo
Além disso, para quaisquer
é sempre positivo. Por exemplo, note que a equação
não tem raízes reais (o discriminante é
), logo
para todo
.
Passo 4
Tendo os dois fatores
e
estritamente positivos, concluímos que
ou seja,
Resposta
A implicação é verdadeira: sempre que
em
, segue-se que
.
Portanto, não há contra-exemplo; a propriedade vale para todos os reais.