Seja f(x, y)=x^{2}+y.
Qual é a taxa de variação máxima em (1,1) ?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y e pede: qual é a taxa de variação máxima de f no ponto (1,1) ?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: f(x,y)=x^{2}+y.
  • O ponto onde se avalia: (1,1).
  • A pergunta: encontrar a maior taxa de variação possível de f naquele ponto (isto é, o maior valor do derivada direcional de f em (1,1) sobre todas as direções unitárias).

Passo 2

Entendendo as ferramentas que vamos usar — derivadas parciais:
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada por \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede como f muda quando x varia e y fica fixo.
  • A derivada parcial de f em relação a y, denotada por \dfrac{\partial f}{\partial y}, mede como f muda quando y varia e x fica fixo.
Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=1.

Passo 3

Definição e cálculo do gradiente:
  • O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\\[4pt]\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\end{pmatrix}.
  • Avaliando em (1,1):
\nabla f(1,1)=\begin{pmatrix}2\cdot 1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Explicação intuitiva: o gradiente aponta na direção de maior aumento de f e seus componentes mostram a inclinação de f nas direções dos eixos.]

Passo 4

Derivada direcional e relação com o gradiente:
  • Para uma direção unitária \mathbf{u}=(u_1,u_2) com \|\mathbf{u}\|=1, a derivada direcional de f em (1,1) na direção \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u}.
  • Essa fórmula vem da regra da cadeia: se se move no ponto pela parametrização (x(t),y(t))=(1,1)+t\mathbf{u}, então \dfrac{d}{dt}f(x(t),y(t))\big|_{t=0}=\nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u}.
Então o problema de achar a taxa de variação máxima reduz-se a maximizar o produto escalar \nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u} sobre todos os vetores unitários \mathbf{u}.

Passo 5

Maximização usando desigualdade de Cauchy–Schwarz:
  • Para vetores \mathbf{a} e \mathbf{u} com \|\mathbf{u}\|=1, vale a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}\le \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{u}\|=\|\mathbf{a}\|.
  • Igualdade ocorre quando \mathbf{u} é paralelo a \mathbf{a} (isto é, \mathbf{u} tem a mesma direção de \mathbf{a}).
Aplicando com \mathbf{a}=\nabla f(1,1)=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}, concluímos que a derivada direcional é no máximo \|\nabla f(1,1)\|, obtida quando \mathbf{u} está na direção de \nabla f(1,1).

Passo 6

Cálculo da norma do gradiente e da direção onde ocorre o máximo:
  • A norma de \nabla f(1,1) é
\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
  • A direção unitária que alcança esse máximo é
\mathbf{u}_{\text{máx}}=\frac{\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.á
Portanto, a maior taxa de variação em (1,1) é \sqrt{5}, ocorrendo na direção de \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.]

Resposta

\sqrt{5}

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