Seja f(x, y)=x^{2}+y.
Qual é a taxa de variação máxima em (1,1) ?
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y e pede: qual é a taxa de variação máxima de f no ponto (1,1) ?
Informações relevantes fornecidas:
A função: f(x,y)=x^{2}+y.
O ponto onde se avalia: (1,1).
A pergunta: encontrar a maior taxa de variação possível de f naquele ponto (isto é, o maior valor do derivada direcional de f em (1,1) sobre todas as direções unitárias).
Passo 2
Entendendo as ferramentas que vamos usar — derivadas parciais:
A derivada parcial de f em relação a x, denotada por \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede como f muda quando x varia e y fica fixo.
A derivada parcial de f em relação a y, denotada por \dfrac{\partial f}{\partial y}, mede como f muda quando y varia e x fica fixo.
Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y:
Essa fórmula vem da regra da cadeia: se se move no ponto pela parametrização (x(t),y(t))=(1,1)+t\mathbf{u}, então \dfrac{d}{dt}f(x(t),y(t))\big|_{t=0}=\nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u}.
Então o problema de achar a taxa de variação máxima reduz-se a maximizar o produto escalar \nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u} sobre todos os vetores unitários \mathbf{u}.
Passo 5
Maximização usando desigualdade de Cauchy–Schwarz:
Para vetores \mathbf{a} e \mathbf{u} com \|\mathbf{u}\|=1, vale a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
Igualdade ocorre quando \mathbf{u} é paralelo a \mathbf{a} (isto é, \mathbf{u} tem a mesma direção de \mathbf{a}).
Aplicando com \mathbf{a}=\nabla f(1,1)=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}, concluímos que a derivada direcional é no máximo \|\nabla f(1,1)\|, obtida quando \mathbf{u} está na direção de \nabla f(1,1).
Passo 6
Cálculo da norma do gradiente e da direção onde ocorre o máximo: