Seja
definida implicitamente pela equação
.
(b) Calcule a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
(b) Calcule a equação do plano tangente à superfície
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
definida implicitamente pela equação
O ponto onde queremos o plano tangente é
.
O que é pedido: calcular a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 2
Primeira verificação (importante!): confirmar que o ponto dado realmente pertence à superfície, substituindo
na equação.
Calcule:
Portanto
satisfaz a equação e pertence à superfície — bom sinal, podemos prosseguir.
Passo 3
Estratégia (passo a passo do conceito usado): para uma superfície dada implicitamente por
com
localmente, as derivadas parciais de
são obtidas por diferenciação implícita. Definindo
temos
. Diferenciando em relação a
e usando a regra da cadeia:
logo
De modo análogo, diferenciando em relação a
:
Essas fórmulas são padrão:
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
constantes),
é a parcial em
e
em
. O denominador
deve ser diferente de zero no ponto para garantir que a função
exista localmente e as fórmulas façam sentido.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
simbolicamente.
Derivando termo a termo:
- Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , .
Somando os termos, obtemos:
Passo 5
Avaliar essas parciais no ponto
.
Calcule cada uma:
Observação útil:
, então localmente existe
e as fórmulas para
são válidas.
Passo 6
Calcular as derivadas parciais de
no ponto usando as fórmulas da Passo 3:
Interpretação rápida: ao mexer
um pouco mantendo
fixo,
não muda (derivada zero). Ao mexer
,
muda com inclinação
.
Passo 7
Agora usamos a fórmula do plano tangente para uma superfície escrita como
num ponto
:
Substituindo
e os valores de
encontrados:
Essa é a forma do plano tangente antes da simplificação final.