Seja z=f(x, y) definida implicitamente pela equação 2 x z^{3}-3 y z^{2}+x^{2} y^{2}+4 z=0.
(b) Calcule a equação do plano tangente à superfície z=f(x, y) no ponto (-1,1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície z=f(x,y) definida implicitamente pela equação
2 x z^{3}-3 y z^{2}+x^{2} y^{2}+4 z=0.
O ponto onde queremos o plano tangente é (-1,1,1).
O que é pedido: calcular a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (-1,1,1).

Passo 2

Primeira verificação (importante!): confirmar que o ponto dado realmente pertence à superfície, substituindo (x,y,z)=(-1,1,1) na equação.
Calcule:
2\cdot(-1)\cdot 1^{3}-3\cdot 1\cdot 1^{2}+(-1)^{2}\cdot 1^{2}+4\cdot 1 = -2-3+1+4=0.
Portanto (-1,1,1) satisfaz a equação e pertence à superfície — bom sinal, podemos prosseguir.

Passo 3

Estratégia (passo a passo do conceito usado): para uma superfície dada implicitamente por \,F(x,y,z)=0\,, com z=f(x,y) localmente, as derivadas parciais de f são obtidas por diferenciação implícita. Definindo
F(x,y,z)=2 x z^{3}-3 y z^{2}+x^{2} y^{2}+4 z,
temos F(x,y,f(x,y))\equiv 0. Diferenciando em relação a x e usando a regra da cadeia:
F_x(x,y,z)+F_z(x,y,z)\,f_x(x,y)=0,
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f_x(x,y)=-\dfrac{F_x(x,y,z)}{F_z(x,y,z)}.
De modo análogo, diferenciando em relação a y:
f_y(x,y)=-\dfrac{F_y(x,y,z)}{F_z(x,y,z)}.
Essas fórmulas são padrão: F_x é a derivada parcial de F em relação a x (tratando y,z constantes), F_y é a parcial em y e F_z em z. O denominador F_z deve ser diferente de zero no ponto para garantir que a função z=f(x,y) exista localmente e as fórmulas façam sentido.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de F simbolicamente.
Derivando termo a termo:
  • Para 2 x z^{3}: \partial/\partial x = 2 z^{3}, \partial/\partial y = 0, \partial/\partial z = 2 x\cdot 3 z^{2}=6 x z^{2}.
  • Para -3 y z^{2}: \partial/\partial x = 0, \partial/\partial y = -3 z^{2}, \partial/\partial z = -3 y\cdot 2 z = -6 y z.
  • Para x^{2} y^{2}: \partial/\partial x = 2 x y^{2}, \partial/\partial y = 2 x^{2} y, \partial/\partial z = 0.
  • Para 4 z: \partial/\partial x = 0, \partial/\partial y = 0, \partial/\partial z = 4.
Somando os termos, obtemos:
F_x(x,y,z)=2 z^{3}+2 x y^{2},
F_y(x,y,z)=-3 z^{2}+2 x^{2} y,
F_z(x,y,z)=6 x z^{2}-6 y z+4.

Passo 5

Avaliar essas parciais no ponto (-1,1,1).
Calcule cada uma:
F_x(-1,1,1)=2\cdot 1^{3}+2\cdot(-1)\cdot 1^{2}=2-2=0,
F_y(-1,1,1)=-3\cdot 1^{2}+2\cdot(-1)^{2}\cdot 1=-3+2=-1,
F_z(-1,1,1)=6\cdot(-1)\cdot 1^{2}-6\cdot 1\cdot 1+4=-6-6+4=-8.
Observação útil: F_z(-1,1,1)=-8\neq 0, então localmente existe z=f(x,y) e as fórmulas para f_x,f_y são válidas.

Passo 6

Calcular as derivadas parciais de f no ponto usando as fórmulas da Passo 3:
f_x(-1,1)=-\dfrac{F_x(-1,1,1)}{F_z(-1,1,1)}=-\dfrac{0}{-8}=0,
f_y(-1,1)=-\dfrac{F_y(-1,1,1)}{F_z(-1,1,1)}=-\dfrac{-1}{-8}=-\dfrac{1}{8}.
Interpretação rápida: ao mexer x um pouco mantendo y fixo, z não muda (derivada zero). Ao mexer y, z muda com inclinação -1/8.

Passo 7

Agora usamos a fórmula do plano tangente para uma superfície escrita como z=f(x,y) num ponto (x_0,y_0,z_0):
z-z_0=f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Substituindo (x_0,y_0,z_0)=(-1,1,1) e os valores de f_x,f_y encontrados:
z-1=0\cdot (x+1)-\dfrac{1}{8}(y-1).
Essa é a forma do plano tangente antes da simplificação final.

Resposta

z-1=-\dfrac{1}{8}(y-1)

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