Seja
.
Em qual direção
cresce mais rapidamente em
?
Em qual direção
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
.
A pergunta é: em qual direção cresce mais rapidamente em
?
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: em qual direção
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita
. - O ponto onde se quer a direção de maior crescimento:
.
Passo 2
O que significa “direção de maior crescimento”? Vou explicar passo a passo, devagar e sem pular etapas.
- Para funções de duas variáveis, a taxa de variação de
na direção de um vetor unitário é dada pela derivada direcional . - Existe uma fórmula muito útil e simples:
onde é o vetor gradiente de no ponto e é o produto escalar. - O gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais: . Cada componente nos diz a taxa de variação de quando mudamos só a coordenada correspondente. - O produto escalar pode ser escrito em termos do módulo e do ângulo entre vetores: se
é o ângulo entre e , então Para unitário vale , logo . - Assim, para maximizar
(ou seja, achar a direção de maior crescimento), escolhemos , ou seja, : o vetor deve apontar exatamente na mesma direção de . - Conclusão teórica importante (resumindo): a função cresce mais rapidamente na direção do gradiente; a magnitude máxima do crescimento é
.
Passo 3
Agora aplico isso à função dada. Primeiro calculemos as derivadas parciais:
-
. Aqui a derivada parcial em relação a mede a variação de quando só muda. -
. Aqui a derivada parcial em relação a mede a variação de quando só muda.
Portanto o gradiente é
Passo 4
Avalio o gradiente no ponto
:
Pausa rapidinha: isso significa que, em
, se eu aumentar
mantendo
fixo a uma taxa 1,
aumenta duas vezes mais do que se eu aumentar
mantendo
fixo (já que as componentes são
e
).
Passo 5
A direção de maior crescimento é a direção do vetor
.
Normalmente descrevemos uma direção por um vetor unitário. Vamos normalizar :
Normalmente descrevemos uma direção por um vetor unitário. Vamos normalizar
- Primeiro o módulo de
é - O vetor unitário na direção de
é
Passo 6
Também podemos dizer qual é a taxa máxima de aumento (só para completar a ideia): é
. Isto é, ao mover-se na direção
a derivada direcional vale
, que é o maior valor possível entre todas as direções unitárias.
Resposta
Na direção do gradiente
, isto é, pelo vetor unitário
.