Seja f(x, y)=x^{2}+y.
Em qual direção f cresce mais rapidamente em (1,1) ?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y e o ponto (1,1).
A pergunta é: em qual direção f cresce mais rapidamente em (1,1)?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita f(x,y)=x^{2}+y.
  • O ponto onde se quer a direção de maior crescimento: (1,1).

Passo 2

O que significa “direção de maior crescimento”? Vou explicar passo a passo, devagar e sem pular etapas.
  • Para funções de duas variáveis, a taxa de variação de f na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada pela derivada direcional D_{\mathbf{u}}f.
  • Existe uma fórmula muito útil e simples: D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{p})=\nabla f(\mathbf{p})\cdot\mathbf{u},onde \nabla f(\mathbf{p}) é o vetor gradiente de f no ponto \mathbf{p} e \cdot é o produto escalar.
  • O gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais: \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y). Cada componente nos diz a taxa de variação de f quando mudamos só a coordenada correspondente.
  • O produto escalar pode ser escrito em termos do módulo e do ângulo entre vetores: se \theta é o ângulo entre \nabla f e \mathbf{u}, então \nabla f\cdot\mathbf{u}=\|\nabla f\|\,\|\mathbf{u}\|\,\cos\theta.Para \mathbf{u} unitário vale \|\mathbf{u}\|=1, logo D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{p})=\|\nabla f(\mathbf{p})\|\cos\theta.
  • Assim, para maximizar D_{\mathbf{u}}f (ou seja, achar a direção de maior crescimento), escolhemos \cos\theta=1, ou seja, \theta=0: o vetor \mathbf{u} deve apontar exatamente na mesma direção de \nabla f(\mathbf{p}).
  • Conclusão teórica importante (resumindo): a função cresce mais rapidamente na direção do gradiente; a magnitude máxima do crescimento é \|\nabla f(\mathbf{p})\|.

Passo 3

Agora aplico isso à função dada. Primeiro calculemos as derivadas parciais:
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x. Aqui a derivada parcial em relação a x mede a variação de f quando só x muda.
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=1. Aqui a derivada parcial em relação a y mede a variação de f quando só y muda.
Portanto o gradiente é
\displaystyle \nabla f(x,y)=\bigl(2x,\;1\bigr).

Passo 4

Avalio o gradiente no ponto (1,1):
\displaystyle \nabla f(1,1)=\bigl(2\cdot 1,\;1\bigr)=(2,1).
Pausa rapidinha: isso significa que, em (1,1), se eu aumentar x mantendo y fixo a uma taxa 1, f aumenta duas vezes mais do que se eu aumentar y mantendo x fixo (já que as componentes são 2 e 1).

Passo 5

A direção de maior crescimento é a direção do vetor \nabla f(1,1)=(2,1).
Normalmente descrevemos uma direção por um vetor unitário. Vamos normalizar (2,1):
  • Primeiro o módulo de (2,1) é \|\,(2,1)\,\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
  • O vetor unitário na direção de (2,1) é \displaystyle \mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1).

Passo 6

Também podemos dizer qual é a taxa máxima de aumento (só para completar a ideia): é \|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{5}. Isto é, ao mover-se na direção \mathbf{u}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1) a derivada direcional vale \sqrt{5}, que é o maior valor possível entre todas as direções unitárias.

Resposta

Na direção do gradiente \nabla f(1,1)=(2,1), isto é, pelo vetor unitário \displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}(2,1).

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