Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.
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Dica: Use a técnica de completar quadrados e lembre de que
e
.
Dica: Use a técnica de completar quadrados e lembre de que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
é uma esfera e determinar seu centro e raio. Para isso vamos usar a técnica de completar quadrados em
,
e
.
Passo 2
Primeiro simplificamos dividindo tudo por
, o que não altera a forma geométrica:
Em seguida levamos todos os termos para o lado esquerdo:
Passo 3
Agora completamos o quadrado em
. Repare que
Passo 4
Em seguida completamos o quadrado em
. Como o termo é
, fazemos
Passo 5
Substituindo essas expressões na equação original temos:
Somando as constantes
, obtemos
Passo 6
Isolando o termo constante, chegamos à forma padrão de uma esfera:
Dessa forma, concluímos que é uma esfera de centro
e raio
.
Resposta
A equação representa uma esfera com centro
e raio
.