Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.
4 x^2+4 y^2+4 z^2=16 x-6 y-12.
Dica: Use a técnica de completar quadrados e lembre de que (a+b)^2=a^2+2 a b+b^2 e (a-b)^2=a^2-2 a b+b^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
4x^2+4y^2+4z^2=16x-6y-12
é uma esfera e determinar seu centro e raio. Para isso vamos usar a técnica de completar quadrados em x, y e z.

Passo 2

Primeiro simplificamos dividindo tudo por 4, o que não altera a forma geométrica:
x^2+y^2+z^2=4x-tfrac32y-3
Em seguida levamos todos os termos para o lado esquerdo:
x^2-4x ;+; y^2+tfrac32y ;+; z^2 +3 ;=; 0

Passo 3

Agora completamos o quadrado em x. Repare que
x^2-4x = (x-2)^2-4

Passo 4

Em seguida completamos o quadrado em y. Como o termo é y^2+tfrac32y, fazemos
y^2+tfrac32y = l(y+tfrac34r)^2 - l(tfrac34r)^2 = l(y+tfrac34r)^2 - tfrac916

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação original temos:
(x-2)^2-4 ;+;l(y+tfrac34r)^2-tfrac916;+;z^2+3=0
Somando as constantes -4 - tfrac916 + 3 = -tfrac2516, obtemos
(x-2)^2 + l(y+tfrac34r)^2 + z^2 - tfrac2516 = 0

Passo 6

Isolando o termo constante, chegamos à forma padrão de uma esfera:
(x-2)^2 + l(y+tfrac34r)^2 + (z-0)^2 = tfrac2516
Dessa forma, concluímos que é uma esfera de centro l(2,,-tfrac34,,0r) e raio raiztfrac2516=tfrac54.

Resposta

A equação representa uma esfera com centro l(2,,-tfrac34,,0r) e raio tfrac54.

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