Verifique que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada.
y^prime=2 y^2 ; y=1 /(4-x^2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y=14 - x^2
é solução da equação diferencial
y' = 2,x,y^2
O conteúdo usado aqui é derivação de função composta e substituição na equação diferencial para conferir que y' bate com 2xy^2.

Passo 2

Calcular y' a partir de
y=(4 - x^2)^-1
Usando a regra da cadeia:
dydx = -1cdot(4 - x^2)^-2cdotddx(4 - x^2) = - (4 - x^2)^-2cdot(-2x) = 2x(4 - x^2)^2

Passo 3

Calcular o lado direito da equação diferencial, 2x,y^2:
2x,y^2 = 2xcdot(14 - x^2)^!2 = 2x(4 - x^2)^2

Passo 4

Comparando os resultados de y' e de 2x,y^2, vemos que
y' = 2x(4 - x^2)^2 e 2x,y^2 = 2x(4 - x^2)^2,
logo ambos são iguais para todo x tal que xneqpm2.

Resposta

A função y=dfrac14 - x^2 satisfaz
y' = 2x,y^2,
portanto é de fato solução da equação diferencial no domínio xneqpm2.

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