O plano que passam pelos pontos (1,-1,2),(1,3,1) e (3,1,5) é bem determinado? Porque?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe um único plano que passa pelos pontos (1,–1,2), (1,3,1) e (3,1,5). O conteúdo da matéria é Geometria Analítica em R^3, e vamos precisar usar a propriedade de que três pontos não colineares determinam um único plano.

Passo 2

Escolhemos um ponto de referência, por exemplo P1=(1,-1,2), e construímos dois vetores diretores do plano: P1P2 e P1P3. Calculamos
P1P2 = (1-1,;3-(-1),;1-2) = (0,4,-1),
P1P3 = (3-1,;1-(-1),;5-2) = (2,2,3)

Passo 3

Para verificar se esses vetores são paralelos (o que indicaria colinearidade dos pontos), vemos se existe t tal que P1P2=t,P1P3. Da primeira coordenada, teríamos 0=2timplies t=0, mas na segunda coordenada isso daria 4=2cdot0=0, o que é impossível. Portanto eles não são paralelos.

Passo 4

Como os vetores diretores não são colineares, os três pontos não estão em uma mesma reta. Logo, segundo a teoria de Geometria Analítica, três pontos não colineares determinam um único plano.
Portanto, o plano que passa pelos três pontos é bem determinado, pois não existe mais do que um plano que contenha esses três pontos.

Resposta

Sim. Porque os vetores P1P2 e P1P3 não são paralelos, o que implica que os três pontos não são colineares e determinam um único plano.

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