Para uma parábola com reta diretriz y=y0-p, determine as expressões de a, b e c de sua representação na forma y=a x^2+b x+c.

Passo 1

O enunciado pede a forma quadrática y=ax^2+bx+c de uma parábola cuja reta diretriz é y=y0-p. Aqui o eixo de simetria é vertical, o vértice é (x0,y0) e o foco fica em (x0,y0+p). Vamos usar a definição: todo ponto (x,y) da parábola está equidistante do foco e da diretriz.

Passo 2

A distância de (x,y) ao foco (x0,y0+p) é
$$
d(F,P)=

digl((x,y),(x_0,y_0+p)\bigr)

\sqrt{(x-x_0)2+(y-(y_0+p))2}.
d(F,P)= digl((x,y),(x0,y0+p)r) = raiz(x-x0)^2+(y-(y0+p))^2 âàé
digl((x,y),y_0-p\bigr)=
|y-(y_0-p)|.
$$

Passo 3

Igualando as distâncias e elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
(x-x0)^2+(y-y0-p)^2=(y-y0+p)^2
Ao expandir, (y-y0)^2 e p^2 cancelam de ambos os lados, sobrando:
(x-x0)^2-2p(y-y0)=2p(y-y0)
Logo
(x-x0)^2=4p(y-y0)

Passo 4

Isolando y obtemos
y-y0=(x-x0)^24p
e então
y=(x-x0)^24p+y0

Passo 5

Basta agora expandir o quadrado e separar os termos em x^2, x e constante:
y=14p(x^2-2x0x+x0^2)+y0 =14px^2-x02px+l(x0^24p+y0r)

Resposta

a=dfrac14p, b=-dfracx02p, c=dfracx0^24p+y0.

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