Justifique as seguintes afirmações:
Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações sempre possui infinitas soluções. Mostre (dando um exemplo) que isso não é verdade sempre se um tal sistema não for homogêneo.
Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações sempre possui infinitas soluções. Mostre (dando um exemplo) que isso não é verdade sempre se um tal sistema não for homogêneo.
Passo 1
O enunciado pede para justificar duas coisas numa aula de sistemas lineares:
- Por que um sistema homogêneo
com equações e incógnitas, quando , sempre tem infinitas soluções. - Mostrar, com um exemplo, que essa propriedade deixa de valer se o sistema não for homogêneo.
Passo 2
Considere um sistema homogêneo
, onde
é uma matriz
com
. Pelo Teorema de Rouché–Capelli, o número de graus de liberdade (variáveis livres) é
Como
, temos
e, portanto,
Isso significa que há pelo menos uma variável livre, o que gera uma família de soluções de dimensão positiva. Logo, existem infinitas soluções.
Passo 3
Para ver que a versão não homogênea pode quebrar essa regra, basta um sistema com mais incógnitas que equações mas inconsistente. Por exemplo, em três incógnitas
Aqui temos
, gerando inconsistência e nenhuma solução.
Resposta
O sistema homogêneo com
sempre tem infinitas soluções, pois sobra pelo menos uma variável livre. Mas o sistema não homogêneo
é inconsistente (sem nenhuma solução), mostrando que a propriedade deixa de valer fora do caso homogêneo.