Justifique as seguintes afirmações:
Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações sempre possui infinitas soluções. Mostre (dando um exemplo) que isso não é verdade sempre se um tal sistema não for homogêneo.

Passo 1

O enunciado pede para justificar duas coisas numa aula de sistemas lineares:
  1. Por que um sistema homogêneo Ax=0 com m equações e n incógnitas, quando m<n, sempre tem infinitas soluções.
  2. Mostrar, com um exemplo, que essa propriedade deixa de valer se o sistema não for homogêneo.

Passo 2

Considere um sistema homogêneo Ax=0, onde A é uma matriz m\times n com m<n. Pelo Teorema de Rouché–Capelli, o número de graus de liberdade (variáveis livres) é
n - \rank(A).
Como \rank(A)\le m<n, temos \rank(A)<n e, portanto,
n - \rank(A)>0.
Isso significa que há pelo menos uma variável livre, o que gera uma família de soluções de dimensão positiva. Logo, existem infinitas soluções.

Passo 3

Para ver que a versão não homogênea pode quebrar essa regra, basta um sistema com mais incógnitas que equações mas inconsistente. Por exemplo, em três incógnitas x,y,z\) e duas equações: \[\begin{cases} x + y + z = 1,\\\ x + y + z = 2. \end{cases}
Aqui temos m=2<n=3\], mas as duas equações são contraditórias (a mesma soma não pode valer simultaneamente 1 e 2). Pelo critério de Rouché–Capelli, a matriz ampliada tem posto maior que o posto de \(A, gerando inconsistência e nenhuma solução.

Resposta

O sistema homogêneo com m<n sempre tem infinitas soluções, pois sobra pelo menos uma variável livre. Mas o sistema não homogêneo
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\ x + y + z = 2 \end{cases}
é inconsistente (sem nenhuma solução), mostrando que a propriedade deixa de valer fora do caso homogêneo.

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