Nos sistemas lineares abaixo, a partir da forma escalonada, determine se o sistema tem solução única, não possui solução ou admite infinitas soluções. Se tiver solução única, determine a solução; se possuir infinitas soluções, descreva o conjunto-solução do sistema.
19. \{\begin{aligned} x-2 y+z & =2 \\ 2 x-y-4 z & =13 \\ x-y-z & =5\end{aligned}\right.

Passo 1

Temos o sistema
\begin{cases} x - 2y + z = 2,\\\\ 2x - y - 4z = 13,\\\ x - y - z = 5. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss, onde transformamos o sistema em forma escalonada para identificar a existência e o tipo de solução.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada e aplicando operações de linha para zerar abaixo do primeiro pivô:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 2\\\\ 2 & -1 & -4 & 13\\\\ 1 & -1 & -1 & 5 \end{array}\right] \quad \begin{aligned} L_2 &\leftarrow L_2 - 2L_1,\\\ L_3 &\leftarrow L_3 - L_1 \end{aligned} \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 2\\\\ 0 & 3 & -6 & 9\\\\ 0 & 1 & -2 & 3 \end{array}\right].

Passo 3

Observamos que a segunda linha é três vezes a terceira, ou seja, ambas representam a mesma equação 3y-6z=9, que simplifica para
y - 2z = 3.
Assim ficamos com duas equações independentes:
\begin{cases} x - 2y + z = 2,\\\ y - 2z = 3. \end{cases}
O posto é 2 em 3 incógnitas, logo há infinitas soluções.

Passo 4

Chamamos de parâmetro livre t a variável z. Então
y - 2t = 3 \quad\Longrightarrow\quad y = 3 + 2t,
e na primeira equação
x - 2(3 + 2t) + t = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 2 + 6 +4t - t = 8 + 3t.

Resposta

O sistema admite infinitas soluções, descritas por
\bigl\{(x,y,z)\mid x = 8 + 3t,\;y = 3 + 2t,\;z = t,\;t\in\mathbb{R}\bigr\}.

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