Nos sistemas lineares abaixo, a partir da forma escalonada, determine se o sistema tem solução única, não possui solução ou admite infinitas soluções. Se tiver solução única, determine a solução; se possuir infinitas soluções, descreva o conjunto-solução do sistema.
17. \{\begin{array}{l}2 x-y+4 z=7 \\ 3 x+2 y-2 z=3 \\ 5 x+y+2 z=15\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} 2x - y + 4z = 7,\\\\ 3x + 2y - 2z = 3,\\\\ 5x + y + 2z = 15, \end{cases}
e pede para determinar se ele tem solução única, nenhuma ou infinitas soluções. O conteúdo aqui é eliminação de Gauss (forma escalonada) para verificar consistência e grau de liberdade das incógnitas.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos o pivô da primeira linha para eliminar x nas linhas 2 e 3:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 4 & 7\\\\ 3 & 2 & -2 & 3\\\\ 5 & 1 & 2 & 15 \end{array}\right]
Fazendo
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{3}{2}R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{5}{2}R_1,
obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 4 & 7\\\\ 0 & \tfrac{7}{2} & -8 & -\tfrac{15}{2}\\\\ 0 & \tfrac{7}{2} & -8 & -\tfrac{5}{2} \end{array}\right].

Passo 3

Agora usamos o pivô da segunda linha para eliminar a entrada na terceira linha:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 4 & 7\\\\ 0 & \tfrac{7}{2} & -8 & -\tfrac{15}{2}\\\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right].

Passo 4

A terceira linha se reduz à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 5,
ou seja, 0 = 5, que é uma contradição. Logo o sistema é inconsistente e não possui solução.

Resposta

O sistema não possui solução.

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