Nos sistemas lineares abaixo, a partir da forma escalonada, determine se o sistema tem solução única, não possui solução ou admite infinitas soluções. Se tiver solução única, determine a solução; se possuir infinitas soluções, descreva o conjunto-solução do sistema.
15. \{\begin{aligned} x+3 y+2 z & =5 \\ x-y+3 z & =3 \\ 3 x+y+8 z & =10\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x + 3y + 2z = 5,\\\ x - y + 3z = 3,\\\\ 3x + y + 8z = 10 \end{cases}
e pede para, a partir da forma escalonada, decidir se há solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. O método escolhido será a eliminação de Gauss, que revela inconsistências ou variáveis livres.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x em R_2 e R_3 usando operações elementares:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 5\\\\ 1 & -1 & 3 & 3\\\\ 3 & 1 & 8 & 10 \end{array}\right) \;\xrightarrow{\,R_2\leftarrow R_2 - R_1,\;R_3\leftarrow R_3 - 3R_1\,}\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 5\\\\ 0 & -4 & 1 & -2\\\\ 0 & -8 & 2 & -5 \end{array}\right)

Passo 3

Agora eliminamos y em R_3 com R_2:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 5\\\\ 0 & -4 & 1 & -2\\\\ 0 & -8 & 2 & -5 \end{array}\right) \;\xrightarrow{\,R_3\leftarrow R_3 - 2\,R_2\,}\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 5\\\\ 0 & -4 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)
A última linha corresponde à equação 0x+0y+0z=-1, isto é,
0 = -1,
que é uma contradição.

Passo 4

Como surgem linhas inconsistentes (equação falsa), o sistema não admite qualquer solução.

Resposta

O sistema não possui solução.

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