Responda.
a) Como é definido o número
?
b) Qual o valor aproximado de
?
c) Qual a função exponencial natural?
a) Como é definido o número
b) Qual o valor aproximado de
c) Qual a função exponencial natural?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
a) a definição do número ;
b) o valor aproximado de ;
c) a definição da função exponencial natural.
Vamos usar como base a definição de limite e a série infinita que convergem para , além de lembrar a propriedade que torna
especial em cálculo.
a) a definição do número
b) o valor aproximado de
c) a definição da função exponencial natural.
Vamos usar como base a definição de limite e a série infinita que convergem para
Passo 2
Uma definição clássica de
é por limite da sequência
. Especificamente,
Esse limite existe e define o número irracional conhecido como base dos logaritmos naturais.
Passo 3
Outra definição equivalente usa a série infinita da soma dos inversos de fatoriais. Ou seja,
Essa série converge rapidamente e costuma ser usada para aproximar
.
Passo 4
Para obter uma aproximação de
, basta somar os primeiros termos da série. Por exemplo, até
:
Incluindo mais termos, chega-se ao valor aproximado
Passo 5
A função exponencial natural é a função
que eleva
a uma variável real
. Em notação,
Ela é caracterizada pela propriedade de que a sua derivada é ela mesma:
Resposta
a)
é definido por
b)
.
c) A função exponencial natural é
c) A função exponencial natural é