Responda.
a) Como é definido o número e ?
b) Qual o valor aproximado de e ?
c) Qual a função exponencial natural?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
a) a definição do número e;
b) o valor aproximado de e;
c) a definição da função exponencial natural.
Vamos usar como base a definição de limite e a série infinita que convergem para e, além de lembrar a propriedade que torna e especial em cálculo.

Passo 2

Uma definição clássica de e é por limite da sequência l(1+tfrac1nr)^n. Especificamente,
e = limntoinfty l(1 + 1nr)^n
Esse limite existe e define o número irracional conhecido como base dos logaritmos naturais.

Passo 3

Outra definição equivalente usa a série infinita da soma dos inversos de fatoriais. Ou seja,
e = sumk=0^infty 1k! = 1 + 1 + 12! + 13! + 14! + cdots
Essa série converge rapidamente e costuma ser usada para aproximar e.

Passo 4

Para obter uma aproximação de e, basta somar os primeiros termos da série. Por exemplo, até k=5:
1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2,71666ldots
Incluindo mais termos, chega-se ao valor aproximado
e approx 2,71828

Passo 5

A função exponencial natural é a função f que eleva e a uma variável real x. Em notação,
f(x) = e^x
Ela é caracterizada pela propriedade de que a sua derivada é ela mesma:
ddx,e^x = e^x

Resposta

a) e é definido por
e = limntoinfty l(1 + 1nr)^n ou e = sumk=0^infty 1k!
b) e approx 2,71828.
c) A função exponencial natural é
f(x) = e^x

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