Para as seguintes matrizes no espaço de matrize reais Mn times n(R) respectivo, ache o polinômio característico, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
A=[cccc2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & -2]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de A, seus autovalores e uma base para cada autoespaço. Vamos usar a definição
chiA(lambda)=det(A-lambda I)
para obter o polinômio, em seguida fatoramos para achar os autovalores e, finalmente, resolvemos (A-lambda I)x=0 em cada caso.

Passo 2

Escrevendo A-lambda I temos
A-lambda I= 2-lambda & 0 & 0 & 4 0 & 2-lambda & 0 & 0 0 & 0 & -2-lambda & 0 0 & 0 & 0 & -2-lambda
Como a matriz é triangular, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(A-lambda I)=(2-lambda)^2(-2-lambda)^2
Reescrevendo em termos de lambda, fica
chiA(lambda)=(lambda-2)^2(lambda+2)^2

Passo 3

Os autovalores são as raízes de chiA(lambda), ou seja
lambda1=2(mu<iplicidade 2), lambda2=-2(mu<iplicidade 2)

Passo 4

Para resolvemos
Dessas equações vêm e , enquanto são livres. Logo um vetor genérico é e uma base do autoespaço correspondente é

Passo 5

Para resolvemos
Dessas equações vêm e , enquanto são livres. Escrevendo , temos
Uma base conveniente do autoespaço é

Resposta

Polinômio característico:
chiA(lambda) = (lambda - 2)^2 (lambda + 2)^2
Autovalores:
lambda = 2 (mult.\ 2), lambda = -2 (mult.\ 2).
Base do autoespaço lambda = 2:
(1,0,0,0),; (0,1,0,0).
Base do autoespaço lambda = -2:
(0,0,1,0),; (-1,0,0,1).

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