Justifique todas as suas respostas.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Calcule a integral iterada
.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Calcule a integral iterada
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos que calcular a integral iterada:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como integrar funções de várias variáveis e como identificar os limites de integração que definem a região sobre a qual estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a ordem das integrais. A integral mais interna é em relação a
, de 0 até
. Em seguida, integramos em
de 0 a 1, e por último, em
de 0 a 1.
Vamos esboçar a região de integração para termos uma ideia clara:
- Para cada valor de
entre 0 e 1, - Para cada valor de
entre 0 e 1, -
varia de 0 até .
-
- Para cada valor de
Isso significa que estamos integrando sobre um volume onde
depende de
, e
independe das outras variáveis.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em
. A função que vamos integrar é
, que na verdade não depende de
.
Então, a integral em relação a
fica:
Passo 4
Agora, vamos passar para a segunda integral, que é em
:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos deixar
, então
, e
.
Alterando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral
. Podemos usar a substituição
, então
, ou seja,
.
A integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral original, restando apenas a integração em
:
Essa é uma integral básica que resulta em um logaritmo natural.
Passo 7
Calculando a última integral:
Resposta
O valor da integral é
.