Justifique todas as suas respostas.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Calcule a integral iterada integral0^1 d y integral0^1 d z integral0^raiz1-z^2 zy+1 d x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos que calcular a integral iterada:
integral0^1 d y integral0^1 d z integral0^raiz1-z^2 zy+1 d x
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como integrar funções de várias variáveis e como identificar os limites de integração que definem a região sobre a qual estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrais. A integral mais interna é em relação a x , de 0 até raiz1 - z^2 . Em seguida, integramos em z de 0 a 1, e por último, em y de 0 a 1.
Vamos esboçar a região de integração para termos uma ideia clara:
  • Para cada valor de y entre 0 e 1,
    • Para cada valor de z entre 0 e 1,
      • x varia de 0 até raiz1 - z^2 .
Isso significa que estamos integrando sobre um volume onde x depende de z , e y independe das outras variáveis.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em x . A função que vamos integrar é zy + 1 , que na verdade não depende de x .
Então, a integral em relação a x fica:
integral0^raiz1 - z^2 zy + 1 d x = zy + 1 integral0^raiz1 - z^2 d x = zy + 1 [ x ]0^raiz1 - z^2 = zy + 1 raiz1 - z^2

Passo 4

Agora, vamos passar para a segunda integral, que é em z :
integral0^1 zy + 1 raiz1 - z^2 d z
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos deixar z = sin theta , então d z = cos theta d theta , e raiz1 - z^2 = cos theta .
Alterando os limites de integração:
  • Quando z = 0 , theta = 0
  • Quando z = 1 , theta = pi2
Substituindo na integral:
integral0^pi2 sin thetay + 1 cos theta cdot cos theta d theta = 1y + 1 integral0^pi2 sin theta cos^2 theta d theta

Passo 5

Vamos resolver a integral integral sin theta cos^2 theta d theta. Podemos usar a substituição u = cos theta , então d u = -sin theta d theta , ou seja, -d u = sin theta d theta .
A integral fica:
1y + 1 integralu=1^u=0 u^2 (-d u) = 1y + 1 integral0^1 u^2 d u = 1y + 1 [ u^33 ]0^1 = 1y + 1 cdot 13 = 13(y + 1)

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral original, restando apenas a integração em y :
integral0^1 13(y + 1) d y = 13 integral0^1 1y + 1 d y
Essa é uma integral básica que resulta em um logaritmo natural.

Passo 7

Calculando a última integral:
13 integral0^1 1y + 1 d y = 13 [ ln(y + 1) ]0^1 = 13 ( ln 2 - ln 1 ) = 13 ln 2

Resposta

O valor da integral é ln 23.

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