Questão 11. Determine o valor de x tal que f(f(x))=1, onde f(x)=1x-1.

Passo 1

Resumindo: temos f(x)=1x-1 e queremos os x tais que f(f(x))=1. Vamos usar composição de funções e depois resolver a equação resultante, cuidando das restrições de domínio.

Passo 2

Calculamos f(f(x)). Primeiro,
f(f(x)) = 1f(x)-1 = 11x-1 - 1
Para simplificar, escrevemos
11-(x-1)x-1 = x-11-(x-1) = x-12-x

Passo 3

Impondo f(f(x))=1, resolvemos
x-12-x = 1
Multiplicando ambos os lados por 2-x, obtemos
x - 1 = 2 - x Longrightarrow 2x = 3 Longrightarrow x = 32

Passo 4

Verificamos o domínio: pela definição de f(x) precisamos de xneq1; além disso, para f(f(x)) o denominador f(x)-1neq0 implica xneq2. A solução x=tfrac32 satisfaz essas condições, portanto é válida.

Resposta

x = 32

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