Justifique todas as suas respostas.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está entre o paraboloide z=x^2+y^2 e a esfera x^2+y^2+z^2=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está entre o paraboloide z = x^2 + y^2 e a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2 . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante na hora de integrar áreas simétricas como essa. Então, vamos precisar entender como converter essas equações para coordenadas cilíndricas e configurar a integral para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, a gente tem três componentes:
  • r : a distância do ponto à origem no plano xy .
  • theta : o ângulo em relação ao eixo x .
  • z : a mesma coordenada z das coordenadas cartesianas.
As relações de conversão são:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z

Passo 3

Agora, vamos converter as equações do paraboloide e da esfera para coordenadas cilíndricas.
Para o paraboloide z = x^2 + y^2 :
z = r^2 (pois x^2 + y^2 = r^2)
Para a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2 :
r^2 + z^2 = 2
z^2 = 2 - r^2
z = raiz2 - r^2
Então, a esfera fica restrita a z >= 0 porque o paraboloide está acima do plano xy .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. Precisamos saber até onde r varia. Para isso, encontramos o ponto de interseção entre o paraboloide e a esfera.
Igualando z das duas equações:
r^2 = raiz2 - r^2
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
r^4 = 2 - r^2
r^4 + r^2 - 2 = 0
Substituindo u = r^2 :
u^2 + u - 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
u = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
u = 1 (já que u = r^2 >= 0) á
Então, r = raiz1 = 1 . Portanto, r varia de 0 a 1.

Passo 5

Agora, vamos definir os limites para z . Para cada r no intervalo [0, 1] , z varia do paraboloide até a esfera:
z in [r^2, raiz2 - r^2]

Passo 6

E para theta , como a região é simétrica em torno do eixo z , theta varia de 0 a 2pi .

Passo 7

Com tudo isso, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume V :
V = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^raiz2 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Aqui, r é o fator de escala na coordenada cilíndrica.

Passo 8

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z :
integralr^2^raiz2 - r^2 r , dz = r [ z ]r^2^raiz2 - r^2 = r ( raiz2 - r^2 - r^2 )

Passo 9

Agora, integramos em relação a r :
integral0^1 r ( raiz2 - r^2 - r^2 ) dr = integral0^1 r raiz2 - r^2 , dr - integral0^1 r^3 , dr
Vamos resolver cada parte separadamente.
Para integral0^1 r raiz2 - r^2 , dr , fazemos a substituição u = 2 - r^2 , então du = -2r , dr , ou seja, -12 du = r , dr . Quando r = 0 , u = 2 ; quando r = 1 , u = 1 .
integral0^1 r raiz2 - r^2 , dr = -12 integral2^1 raizu , du = 12 integral1^2 u^1/2 , du = 12 [ 23 u^3/2 ]1^2 = 13 ( 2^3/2 - 1 )
Para integral0^1 r^3 , dr :
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
Então, combinando as duas partes:
integral0^1 r ( raiz2 - r^2 - r^2 ) dr = 13 ( 2^3/2 - 1 ) - 14

Passo 10

Finalmente, integramos em relação a theta :
V = integral0^2pi ( 13 ( 2^3/2 - 1 ) - 14 ) dtheta = ( 13 ( 2^3/2 - 1 ) - 14 ) times 2pi
Simplificando:
V = 2pi ( 2^3/2 - 13 - 14 ) = 2pi ( 4raiz2 - 412 ) = 2pi (4raiz2 - 4)12 = pi (raiz2 - 1)3

Resposta

O volume do sólido é V = pi (raiz2 - 1)3 unidades cúbicas.

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