Justifique todas as suas respostas.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está entre o paraboloide
e a esfera
.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está entre o paraboloide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está entre o paraboloide
e a esfera
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante na hora de integrar áreas simétricas como essa. Então, vamos precisar entender como converter essas equações para coordenadas cilíndricas e configurar a integral para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, a gente tem três componentes:
-
: a distância do ponto à origem no plano . -
: o ângulo em relação ao eixo . -
: a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
As relações de conversão são:
Passo 3
Agora, vamos converter as equações do paraboloide e da esfera para coordenadas cilíndricas.
Para o paraboloide
:
Para a esfera
:
Então, a esfera fica restrita a
porque o paraboloide está acima do plano
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. Precisamos saber até onde
varia. Para isso, encontramos o ponto de interseção entre o paraboloide e a esfera.
Igualando
das duas equações:
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Substituindo
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
. Portanto,
varia de 0 a 1.
Passo 5
Agora, vamos definir os limites para
. Para cada
no intervalo
,
varia do paraboloide até a esfera:
Passo 6
E para
, como a região é simétrica em torno do eixo
,
varia de 0 a
.
Passo 7
Com tudo isso, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume
:
Aqui,
é o fator de escala na coordenada cilíndrica.
Passo 8
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Para
, fazemos a substituição
, então
, ou seja,
. Quando
,
; quando
,
.
Para
:
Então, combinando as duas partes:
Passo 10
Finalmente, integramos em relação a
:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.