Usando a serie de Maclaurin das funções e^x, e^-x^2, sin (x), cos (x), tan ^-1(x), ln (1+x) e(1+x)^-1 / 2, calcule os limites
lim x 0 tan ^-1(x)-xx^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0tan^-1(x)-xx^3
usando séries de Maclaurin. O conteúdo aqui é a expansão em série de potências de tan^-1(x) em torno de x=0, e vamos precisar apenas dos termos até a ordem x^3.

Passo 2

A série de Maclaurin de tan^-1(x) é
tan^-1(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1
ou seja, truncando até x^3, temos
tan^-1(x)=x-x^33+O(x^5)

Passo 3

Com isso, o numerador fica
tan^-1(x)-x=-x^33+O(x^5),
e dividindo por x^3 obtemos
tan^-1(x)-xx^3=-13+O(x^2)
Ao tomar xto0, o termo de ordem superior some e sobra
limxto0tan^-1(x)-xx^3=-13

Resposta

-tfrac13

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