Use a serie geométrica para encontrar a serie de potências das seguintes funções
x(1+4 x)^2

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
x(1+4x)^2
usando a série geométrica ou binomial. Vamos usar a expansão binomial geral para (1+u)^-2 e em seguida multiplicar por x.

Passo 2

Aplicando o binômio de Newton para expoente negativo, temos
(1+4x)^-2 ;=;sumn=0^inftybinom-2n(4x)^n
Sabendo que
binom-2n=(-1)^n,(n+1),
vemos que
(1+4x)^-2=sumn=0^infty(-1)^n(n+1),4^nx^n

Passo 3

Multiplicamos essa expansão por x:
x(1+4x)^2 =xsumn=0^infty(-1)^n(n+1),4^nx^n =sumn=0^infty(-1)^n(n+1),4^nx^n+1

Passo 4

Fazendo a mudança de índice m=n+1, de modo que n=m-1 e quando n=0 temos m=1, obtemos
x(1+4x)^2 =summ=1^infty(-1)^,m-1m,4^,m-1,x^m =summ=1^inftym(-4)^,m-1x^m
A série converge enquanto |4x|<1, ou seja, |x|<tfrac14.

Resposta

x(1+4x)^2 =summ=1^inftym(-4)^,m-1x^m, para |x|<tfrac14

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