Justifique todas as suas respostas.
  • Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
    Teste o teorema de Gauss
integral duplapartial Omega F cdot d S=integral tripla integralOmega div F d V=integral triplaOmega nabla cdot F d V,
para
F(x, y, z)=(x^2, x y, z), e Omega: z=4-x^2-y^2, z >= 0

Passo 1

O enunciado pede para testar o Teorema de Gauss para o campo
F(x,y,z) = l(x^2,;xy,;zr)
na região
Omega = l(x,y,z)mid z = 4 - x^2 - y^2,;z>=0r
Vamos usar a fórmula
integral duplapartialOmegaFcdot d S ;=;integral triplaOmeganablacdot F,dV,
ou seja, comparar o fluxo de F pela superfície limite partialOmega com a integral tripla da divergência de F em Omega.

Passo 2

Esboço da região de integração:
— Em R^3, Omega é o “chapéu” sob o paraboloide z=4-x^2-y^2 acima do plano z=0.
— Na projeção no plano xy, a base de Omega é o disco
D = l(x,y)mid x^2 + y^2 <= 4r

Passo 3

Calculemos a divergência de F:
nablacdot F = partialpartial x(x^2) + partialpartial y(xy) + partialpartial z(z) = 2x + x + 1 = 3x + 1

Passo 4

Integral de volume
integral triplaOmega(3x+1),dV
Em coordenadas cilíndricas l(x=rcostheta,;y=rsintheta,;zin[0,4-r^2]r), rin[0,2], thetain[0,2pi], temos
integral0^2pi!integral0^2!integral0^4-r^2 (3rcostheta + 1);r,dz,dr,dtheta
Integramos primeiro em z, dando um fator (4-r^2), e note que
integral0^2picostheta,dtheta=0.
Sobram
2piintegral0^2(4r - r^3),dr =2pil[2r^2-tfracr^44r]0^2 =2pi,(8-4) =8pi

Passo 5

Fluxo pela parte curva S1colon z=4-x^2-y^2.
Para z=f(x,y)=4-x^2-y^2, o vetor área orientado para fora (para cima) é
n,dS = (-fx,,-fy,,1),dx,dy = (2x,,2y,,1),dx,dy
Então
Fcdot n,dS =l(x^2,,xy,,zr)cdot(2x,2y,1),dx,dy =2x^3+2xy^2+z,dx,dy,
com z=4-x^2-y^2. Na projeção sobre D isso vira
integral duplaD(2x^3+2xy^2+4-x^2-y^2),dx,dy,
que em cilíndricas dá exatamente 8pi (como no passo anterior, o termo em costheta some).

Passo 6

Fluxo pela base plana S2colon z=0,;x^2+y^2<=4.
O normal para fora do volume é (0,0,-1). Em z=0 temos F=(x^2,xy,0), logo
Fcdot(0,0,-1)=0
e o fluxo em S2 é zero.

Passo 7

Somando os fluxos em S1 e S2 obtemos 8pi, que coincide com a integral tripla de nablacdot F. Portanto o Teorema de Gauss está verificado.

Resposta

integral duplapartialOmegaFcdot d S ;=; integral triplaOmeganablacdot F,dV ;=; 8pi

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