Justifique todas as suas respostas.
- Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Teste o teorema de Gauss
para
Teste o teorema de Gauss
Passo 1
O enunciado pede para testar o Teorema de Gauss para o campo
na região
Vamos usar a fórmula
ou seja, comparar o fluxo de
pela superfície limite
com a integral tripla da divergência de
em
.
Passo 2
Esboço da região de integração:
— Em ,
é o “chapéu” sob o paraboloide
acima do plano
.
— Na projeção no plano , a base de
é o disco
— Em
— Na projeção no plano
Passo 3
Calculemos a divergência de
:
Passo 4
Integral de volume
Em coordenadas cilíndricas
,
,
, temos
Integramos primeiro em
, dando um fator
, e note que
.
Sobram
Sobram
Passo 5
Fluxo pela parte curva
.
Para , o vetor área orientado para fora (para cima) é
Para
Então
com
. Na projeção sobre
isso vira
que em cilíndricas dá exatamente
(como no passo anterior, o termo em
some).
Passo 6
Fluxo pela base plana
.
O normal para fora do volume é . Em
temos
, logo
O normal para fora do volume é
e o fluxo em
é zero.
Passo 7
Somando os fluxos em
e
obtemos
, que coincide com a integral tripla de
. Portanto o Teorema de Gauss está verificado.