Racionalize e simplifique as seguintes expressões:
1raiz[3]4-raiz[3]2 Resp therefore raiz[3]16+raiz[3]8+raiz[3]42

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar e simplificar a fração
1raiz[3]4-raiz[3]2
O conteúdo usado é a fatoração de diferença de cubos:
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Passo 2

Definimos
a = raiz[3]4, b = raiz[3]2,
de modo que o denominador é a-b. Para eliminar a raiz de índice 3 no denominador, multiplicamos numerador e denominador por a^2+ab+b^2:
1a-bcdota^2+ab+b^2a^2+ab+b^2 =a^2+ab+b^2(a-b)(a^2+ab+b^2)

Passo 3

Pelo teorema da diferença de cubos,
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3
Como a^3=4 e b^3=2, segue
a^3-b^3=4-2=2
Logo o denominador fica 2.

Passo 4

Agora basta escrever o numerador em termos de raízes de 2:
a^2=(raiz[3]4)^2=raiz[3]16, ab=raiz[3]4,raiz[3]2=raiz[3]8, b^2=(raiz[3]2)^2=raiz[3]4
Portanto a fração racionalizada é
a^2+ab+b^22 =raiz[3]16+raiz[3]8+raiz[3]42

Resposta

raiz[3]16+raiz[3]8+raiz[3]42

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