Justifique todas as suas respostas.
Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido comum à bola
e ao cilindro sólido
.
Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido comum à bola
Passo 1
Resumo do enunciado: calcular o volume da região comum à esfera
e ao cilindro
. O conteúdo é integração tripla em coordenadas cilíndricas. Para resolver precisamos das expressões paramétricas, dos limites da região e do jacobiano.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, fazemos:
A esfera é
o cilindro
O elemento de volume é
Passo 3
A integral tripla para o volume é
Passo 4
Integrando em
, usamos
Logo
Passo 5
Integrando em
, obtemos fator
:
Passo 6
Para calcular
fazemos a substituição
Passo 7
Substituindo na expressão de
obtemos assim o volume desejado.