Justifique todas as suas respostas.
Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido comum à bola x^2+y^2+z^2 <= 4 a^2 e ao cilindro sólido x^2+y^2 <= a^2.

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular o volume da região comum à esfera x^2+y^2+z^2 <= 4a^2 e ao cilindro x^2+y^2 <= a^2. O conteúdo é integração tripla em coordenadas cilíndricas. Para resolver precisamos das expressões paramétricas, dos limites da região e do jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, fazemos:
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
A esfera é
r^2 + z^2 <= 4a^2,
o cilindro
r <= a
O elemento de volume é
dV = r,dr,dtheta,dz

Passo 3

A integral tripla para o volume é
V = integral0^2pi integral0^a integral-raiz4a^2 - r^2^raiz4a^2 - r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integrando em z, usamos
integral-raiz4a^2 - r^2^raiz4a^2 - r^2 dz = 2raiz4a^2 - r^2
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V = integral0^2pi integral0^a 2rraiz4a^2 - r^2,dr,dtheta

Passo 5

Integrando em theta, obtemos fator 2pi:
V = 4pi integral0^a rraiz4a^2 - r^2,dr

Passo 6

Para calcular
integral0^a rraiz4a^2 - r^2,dr,
fazemos a substituição u = 4a^2 - r^2, du = -2r,dr. Quando r=0, u=4a^2; quando r=a, u=3a^2. Assim,
integral0^a rraiz4a^2 - r^2,dr = -tfrac12integral4a^2^3a^2 u^1/2,du = tfrac12integral3a^2^4a^2 u^1/2,du = tfrac13l((4a^2)^3/2 - (3a^2)^3/2r) = tfrac13(8a^3 - 3raiz3a^3)

Passo 7

Substituindo na expressão de V obtemos assim o volume desejado.

Resposta

4pi a^33(8 - 3raiz3)

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